Joseph環的數學求解及史上最難Joseph問題（轉載）

無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間複雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

爲了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號爲k=m%n的人開始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：
k      --> 0
k+1    --> 1
k+2    --> 2
...
...
k-2    --> n-2
k-1    --> n-1

變換後就完完全全成爲了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]

遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因爲實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1

由於是逐級遞推，不需要保存每個f[i]，程序也是異常簡單：

＃i nclude <stdio.h>

main()
{
   int n, m, i, s=0;
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
   printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

這個算法的時間複雜度爲O(n)，相對於模擬算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往往會成倍地提高算法執行效率。

史上最難Joseph問題：

編號爲1，2，......，n的n個人按順時針方向圍坐一圈，每人持有一個密碼（正整數）。一開始任選一個正整數作爲報數上限值m，從第一個人開始按順時針方向自1開始順序報數，報到m時停止報數。報m的人出列，將他的密碼作爲新的m值，從他在順時針方向上的下一個人開始重新從1報數，如此下去，直至所有人全部出列爲止。試設計一個程序求出列順序。（基本要求：利用單向循環鏈表存儲結構模擬此過程，按照出列的順序印出各人的編號