1.數論算法
求兩數的最大公約數
function gcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd (b,a mod B);
end;
求兩數的最小公倍數
function lcm(a,b:integer):integer;
begin
if a< b then swap(a,B);
lcm:=a;
while lcm mod b >0 do inc(lcm,a);
end;
素數的求法
A.小範圍內判斷一個數是否爲質數：
function prime (n: integer): Boolean;
var I: integer;
begin
for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
if n mod I=0 then begin
prime:=false; exit;
end;
prime:=true;
end;
B.判斷longint範圍內的數是否爲素數（包含求50000以內的素數表）：
procedure getprime;
var
i,j:longint;
p:array[1..50000] of boolean;
begin
fillchar(p,sizeof(p),true);
p[1]:=false;
i:=2;
while i< 50000 do begin
if p[i] then begin
j:=i*2;
while j< 50000 do begin
p[j]:=false;
inc(j,i);
end;
end;
inc(i);
end;
l:=0;
for i:=1 to 50000 do
if p[i] then begin
inc(l);pr[l]:=i;
end;
end;{getprime}
function prime(x:longint):integer;
var i:integer;
begin
prime:=false;
for i:=1 to l do
if pr[i] >=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:=true;
end;{prime}
2．
3．
4.求最小生成樹
A.Prim算法：
procedure prim(v0:integer);
var
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i];
closest[i]:=v0;
end;
for i:=1 to n-1 do begin
{尋找離生成樹最近的未加入頂點k}
min:=maxlongint;
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]< min) and (lowcost[j]< >0) then begin
min:=lowcost[j];
k:=j;
end;
lowcost[k]:=0; {將頂點k加入生成樹}
{生成樹中增加一條新的邊k到closest[k]}
{修正各點的lowcost和closest值}
for j:=1 to n do
if cost[k,j]< lwocost[j] then begin
lowcost[j]:=cost[k,j];
closest[j]:=k;
end;
end;
end;{prim}
B.Kruskal算法：(貪心)
按權值遞增順序刪去圖中的邊，若不形成迴路則將此邊加入最小生成樹。
function find(v:integer):integer; {返回頂點v所在的集合}
var i:integer;
begin
i:=1;
while (i< =n) and (not v in vset[i]) do inc(i);
if i< =n then find:=i else find:=0;
end;
procedure kruskal;
var
tot,i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do vset[i]:=[i];{初始化定義n個集合，第I個集合包含一個元素I}
p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p爲尚待加入的邊數，q爲邊集指針}
sort;
{對所有邊按權值遞增排序，存於e[I]中，e[I].v1與e[I].v2爲邊I所連接的兩個頂點的序號，e[I].len爲第I條邊的長度}
while p >0 do begin
i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);
if i< >j then begin
inc(tot,e[q].len);
vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
dec(p);
end;
inc(q);
end;
writeln(tot);
end;
5.最短路徑
A.標號法求解單源點最短路徑：
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指頂點i到源點的最短路徑}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure bhf;
var
best,best_j:integer;
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
mark[1]:=true; b[1]:=0;{1爲源點}
repeat
best:=0;
for i:=1 to n do
If mark[i] then {對每一個已計算出最短路徑的點}
for j:=1 to n do
if (not mark[j]) and (a[i,j] >0) then
if (best=0) or (b[i]+a[i,j]< best) then begin
best:=b[i]+a[i,j]; best_j:=j;
end;
if best >0 then begin
b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;
end;
until best=0;
end;{bhf}
B.Floyed算法求解所有頂點對之間的最短路徑：
procedure floyed;
begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j] >0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路徑上j的前驅結點}
for k:=1 to n do {枚舉中間結點}
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k]< a[i,j] then begin
a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j];
p[I,j]:=p[k,j];
end;
end;
C. Dijkstra 算法：
類似標號法，本質爲貪心算法。
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路徑上I的前驅結點}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra(v0:integer);
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
for i:=1 to n do begin
d[i]:=a[v0,i];
if d[i]< >0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
end;
mark[v0]:=true;
repeat {每循環一次加入一個離1集合最近的結點並調整其他結點的參數}
min:=maxint; u:=0; {u記錄離1集合最近的結點}
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (d[i]< min) then begin
u:=i; min:=d[i];
end;
if u< >0 then begin
mark[u]:=true;
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]< d[i]) then begin
d[i]:=a[u,i]+d[u];
pre[i]:=u;
end;
end;
until u=0;
end;
D.計算圖的傳遞閉包
Procedure Longlink;
Var
T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
For k:=1 to n do
For I:=1 to n do
For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);
End;
6.0-1揹包問題（部分揹包問題可有貪心法求解：計算Pi/Wi)
數據結構：
w[i]:第i個揹包的重量；
p[i]:第i個揹包的價值；
(1)0-1揹包： 每個揹包只能使用一次或有限次(可轉化爲一次)：
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 裝箱問題
有一個箱子容量爲v(正整數，o≤v≤20000)，同時有n個物品(o≤n≤30)，每個物品有一個體積 (正整數)。要求從 n 個物品中，任取若千個裝入箱內，使箱子的剩餘空間爲最小。
l 搜索方法
procedure search(k,v:integer); {搜索第k個物品，剩餘空間爲v}
var i,j:integer;
begin
if v< best then best:=v;
if v-(s[n]-s[k-1]) >=best then exit; {s[n]爲前n個物品的重量和}
if k< =n then begin
if v >w[k] then search(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
end;
end;
l DP
F[I,j]爲前i個物品中選擇若干個放入使其體積正好爲j的標誌，爲布爾型。
實現:將最優化問題轉化爲判定性問題
F[I,j]=f[i-1,j-w[i]] (w[I]< =j< =v) 邊界：f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
優化：當前狀態只與前一階段狀態有關，可降至一維。
F[0]:=true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
End;
B.求可以放入的最大價值。
F[I,j]=
C.求恰好裝滿的情況數。
(2)每個揹包可使用任意次：
A.求最多可放入的重量。
狀態轉移方程爲
f[I,j]=max{f[i-w[j]
B.求可以放入的最大價值。
USACO 1.2 Score Inflation
進行一次競賽，總時間T固定，有若干種可選擇的題目，每種題目可選入的數量不限，每種題目有一個ti（解答此題所需的時間）和一個si（解答此題所得的分數），現要選擇若干題目，使解這些題的總時間在T以內的前提下，所得的總分最大，求最大的得分。
*易想到：
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*v[j] } (0< =k< = i div w[j])
其中f[i,j]表示容量爲i時取前j種揹包所能達到的最大值。
*優化：
Begin
FillChar(problem,SizeOf(problem),0);
Assign(Input,’inflate.in’);
Reset(Input);
Readln(M,N);
For i:=1 To N Do
With problem[i] Do
Readln(point,time);
Close(Input);
FillChar(f,SizeOf(f),0);
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
If i-problem[j].time >=0 Then
Begin
t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
If t >f[i] Then f[i]:=t;
End;
Assign(Output,’inflate.out’);
Rewrite(Output);
Writeln(f[M]);
Close(Output);
End.
C.求恰好裝滿的情況數。
Ahoi2001 Problem2
求自然數n本質不同的質數和的表達式的數目。
思路一，生成每個質數的係數的排列，在一一測試，這是通法。
procedure try(dep:integer);
var i,j:integer;
begin
cal; {此過程計算當前係數的計算結果，now爲結果}
if now >n then exit; {剪枝}
if dep=l+1 then begin {生成所有係數}
cal;
if now=n then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:=i;
try(dep+1);
xs[dep]:=0;
end;
end;
思路二，遞歸搜索效率較高
procedure try(dep,rest:integer);
var i,j,x:integer;
begin
if (rest< =0) or (dep=l+1) then begin
if rest=0 then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to rest div pr[dep] do
try(dep+1,rest-pr[dep]*i);
end;
思路三：可使用動態規劃求解
USACO1.2 money system
V個物品，揹包容量爲n，求放法總數。
轉移方程：
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j] >0 then
for k:=1 to n div now do
if j+now*k< =n then inc(c[j+now*k],a[j]);
a:=c;
end;
{main}
begin
read(now); {讀入第一個物品的重量}
i:=0; {a[i]爲揹包容量爲i時的放法總數}
while i< =n do begin
a[i]:=1; inc(i,now); end; {定義第一個物品重的整數倍的重量a值爲1，作爲初值}
for i:=2 to v do
begin
read(now);
update; {動態更新}
end;
writeln(a[n]);
7.排序算法
A.快速排序：
procedure sort(l,r:integer);
var i,j,mid:integer;
begin
i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {將當前序列在中間位置的數定義爲中間數}
repeat
while a[i]< mid do inc(i); {在左半部分尋找比中間數大的數}
while mid< a[j] do dec(j);{在右半部分尋找比中間數小的數}
if i< =j then begin {若找到一組與排序目標不一致的數對則交換它們}
swap(a[i],a[j]);
inc(i);dec(j); {繼續找}
end;
until i >j;
if l< j then sort(l,j); {若未到兩個數的邊界，則遞歸搜索左右區間}
if i< r then sort(i,r);
end;{sort}
B.插入排序：
procedure insert_sort(k,m:word); {k爲當前要插入的數，m爲插入位置的指針}
var i:word; p:0..1;
begin
p:=0;
for i:=m downto 1 do
if k=a[i] then exit;
repeat
If k >a[m] then begin
a[m+1]:=k; p:=1;
end
else begin
a[m+1]:=a[m]; dec(m);
end;
until p=1;
end;{insert_sort}
l 主程序中爲：
a[0]:=0;
for I:=1 to n do insert_sort(b[I],I-1);
C.選擇排序：
procedure sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do begin
k:=i;
for j:=i+1 to n do
if a[j]< a[k] then k:=j; {找出a[I]..a[n]中最小的數與a[I]作交換}
if k< >i then begin
a[0]:=a[k];a[k]:=a[i];a[i]:=a[0];
end;
end;
end;
D. 冒泡排序
procedure sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=n downto 1 do
for j:=1 to i-1 do
if a[j] >a[i] then begin
a[0]:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=a[0];
end;
end;
E.堆排序：
procedure sift(i,m:integer);{調整以i爲根的子樹成爲堆,m爲結點總數}
var k:integer;
begin
a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉樹中結點i的左孩子爲2*i,右孩子爲2*i+1}
while k< =m do begin
if (k< m) and (a[k]< a[k+1]) then inc(k);{找出a[k]與a[k+1]中較大值}
if a[0]< a[k] then begin a[i]:=a[k];i:=k;k:=2*i; end
else k:=m+1;
end;
a[i]:=a[0]; {將根放在合適的位置}
end;
procedure heapsort;
var
j:integer;
begin
for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);
for j:=n downto 2 do begin
swap(a[1],a[j]);
sift(1,j-1);
end;
end;
F. 歸併排序
{a爲序列表，tmp爲輔助數組}
procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);
{將已排序好的子序列a[p..q]與a[q+1..r]合併爲有序的tmp[p..r]}
var I,j,t:integer;
tmp:listtype;
begin
t:=p;i:=p;j:=q+1;{t爲tmp指針，I,j分別爲左右子序列的指針}
while (t< =r) do begin
if (i< =q){左序列有剩餘} and ((j >r) or (a[i]< =a[j])) {滿足取左邊序列當前元素的要求}
then begin
tmp[t]:=a[i]; inc(i);
end
else begin
tmp[t]:=a[j];inc(j);
end;
inc(t);
end;
for i:=p to r do a[i]:=tmp[i];
end;{merge}
procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {合併排序a[p..r]}
var q:integer;
begin
if p< >r then begin
q:=(p+r-1) div 2;
merge_sort (a,p,q);
merge_sort (a,q+1,r);
merge (a,p,q,r);
end;
end;
{main}
begin
merge_sort(a,1,n);
end.
G.基數排序
思想：對每個元素按從低位到高位對每一位進行一次排序
8.高精度計算
A.
B.
C.
D.
9.樹的遍歷順序轉換
A. 已知前序中序求後序
procedure Solve(pre,mid:string);
var i:integer;
begin
if (pre=”) or (mid=”) then exit;
i:=pos(pre[1],mid);
solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1));
solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i));
post:=post+pre[1]; {加上根，遞歸結束後post即爲後序遍歷}
end;
B.已知中序後序求前序
procedure Solve(mid,post:string);
var i:integer;
begin
if (mid=”) or (post=”) then exit;
i:=pos(post[length(post)],mid);
pre:=pre+post[length(post)]; {加上根，遞歸結束後pre即爲前序遍歷}
solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1));
solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i));
end;
C.已知前序後序求中序
function ok(s1,s2:string):boolean;
var i,l:integer; p:boolean;
begin
ok:=true;
l:=length(s1);
for i:=1 to l do begin
p:=false;
for j:=1 to l do
if s1[i]=s2[j] then p:=true;
if not p then begin ok:=false;exit;end;
end;
end;
procedure solve(pre,post:string);
var i:integer;
begin
if (pre=”) or (post=”) then exit;
i:=0;
repeat
inc(i);
until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
midstr:=midstr+pre[1];
solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1));
end;
10.求圖的弱連通子圖(DFS)
procedure dfs ( now,color: integer);
begin
for i:=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin
c[i]:=color;
dfs(I,color);
end;
end;
11.拓撲排序
尋找一數列，其中任意連續p項之和爲正，任意q 項之和爲負，若不存在則輸出NO.
12.進制轉換
A.整數任意正整數進制間的互化
NOIP1996數制轉換
設字符串A$的結構爲: A$=’mp’
其中m爲數字串(長度< =20),而n,p均爲1或2位的數字串(其中所表達的內容在2-10之間)
程序要求:從鍵盤上讀入A$後(不用正確性檢查),將A$中的數字串m(n進制)以p進制的形式輸出.
例如:A$=’48< 10 >8′
其意義爲:將10進制數48,轉換爲8進制數輸出.
輸出結果:48< 10 >=60< 8 >
B.實數任意正整數進制間的互化
C.負數進制：
NOIP2000
設計一個程序，讀入一個十進制數的基數和一個負進制數的基數，並將此十進制數轉換爲此負 進制下的數：-R∈{-2，-3，-4,….-20}
13.全排列與組合的生成
排列的生成：（1..n）
procedure solve(dep:integer);
var
i:integer;
begin
if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end;
for i:=1 to n do
if not used[i] then begin
s:=s+chr(i+ord(’0′));used[i]:=true;
solve(dep+1);
s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
end;
end;
組合的生成(1..n中選取k個數的所有方案)
procedure solve(dep,pre:integer);
var
i:integer;
begin
if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end;
for i:=1 to n do
if (not used[i]) and (i >pre) then begin
s:=s+chr(i+ord(’0′));used[i]:=true;
solve(dep+1,i);
s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
end;
end;
14 遞推關係
計算字串序號模型
USACO1.2.5 StringSobits
長度爲N (N< =31)的01串中1的個數小於等於L的串組成的集合中找出按大小排序後的第I個01串。
數字劃分模型
*NOIP2001數的劃分
將整數n分成k份，且每份不能爲空，任意兩種分法不能相同(不考慮順序)。
d[0,0]:=1;
for p:=1 to n do
for i:=p to n do
for j:=k downto 1 do inc(d[i,j],d[i-p,j-1]);
writeln(d[n,k]);
*變形1：考慮順序
d[ i, j] : = d [ i-k, j-1] (k=1..i)
*變形2：若分解出來的每個數均有一個上限m
d[ i, j] : = d [ i-k, j-1] (k=1..m)
15.算符優先法求解表達式求值問題
const maxn=50;
var
s1:array[1..maxn] of integer; {s1爲數字棧}
s2:array[1..maxn] of char; {s2爲算符棧}
t1,t2:integer; {棧頂指針}
procedure calcu;
var
x1,x2,x:integer;
p:char;
begin
p:=s2[t2]; dec(t2);
x2:=s1[t1]; dec(t1);
x1:=s1[t1]; dec(t1);
case p of
‘+’:x:=x1+x2;
‘-’:x:=x1-x2;
‘*’:x:=x1*x2;
‘/’:x:=x1 div 2;
end;
inc(t1);s1[t1]:=x;
end;
procedure work;
var c:char;v:integer;
begin
t1:=0;t2:=0;
read©;
while c< >’;’ do
case c of
‘+’,'-’: begin
while (t2 >0) and (s2[t2]< >’(') do calcu;
inc(t2);s2[t2]:=c;
read©;
end ;
‘*’,'/’:begin
if (t2 >0) and ((s2[t2]=’*') or (s2[t2]=’/')) then calcu;
inc(t2);s2[t2]:=c;
read©;
end;
‘(’:begin inc(t2); s2[t2]:=c; read©; end;
‘)’:begin
while s2[t2]< >’(’ do calcu;
dec(t2); read©;
end;
‘0′..’9′:begin
v:=0;
repeat
v:=10*v+ord©-ord(’0′);
read©;
until (c< ‘0′) or (c >’9′);
inc(t1); s1[t1]:=v;
end;
end;
while t2 >0 do calcu;
writeln(s1[t1]);
end;
16.查找算法
折半查找
function binsearch(k:keytype):integer;
var low,hig,mid:integer;
begin
low:=1;hig:=n;
mid:=(low+hig) div 2;
while (a[mid].key< >k) and (low< =hig) do begin
if a[mid].key >k then hig:=mid-1
else low:=mid+1;
mid:=(low+hig) div 2;
end;
if low >hig then mid:=0;
binsearch:=mid;
end;
樹形查找
二叉排序樹：每個結點的值都大於其左子樹任一結點的值而小於其右子樹任一結點的值。
查找
function treesrh(k:keytype):pointer;
var q:pointer;
begin
q:=root;
while (q< >nil) and (q^.key< >k) do
if k< q^.key then q:=q^.left
else q:=q^.right;
treesrh:=q;
end;
17．KMP算法
18．貪心
*會議問題
（1） n個活動每個活動有一個開始時間和一個結束時間，任一時刻僅一項活動進行，求滿足活動數最多的情況。
解：按每項活動的結束時間進行排序，排在前面的優先滿足。
（2）會議室空閒時間最少。
（3）每個客戶有一個願付的租金，求最大利潤。
（4）共R間會議室，第i個客戶需使用i間會議室，費用相同，求最大利潤。
附錄1 常用技巧
1.帶權中位數
我國蒙古大草原上有N（N是不大於100的自然數）個牧民定居點P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、 …Pn（Xn，Yn），相應地有關權重爲Wi，現在要求你在大草原上找一點P（Xp，Yp），使P點到任 一點Pi的距離Di與Wi之積之和爲最小。
即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值
結論：對x與y兩個方向分別求解帶權中位數，轉化爲一維。
設最佳點p爲點k，則點k滿足：
令W爲點k到其餘各點的帶權距離之和，則
sigema( i=1 to k-1) Wi*Di < = W/2
sigema( i=k+1 to n) Wi*Di < = W/2
同時滿足上述兩式的點k即爲帶權中位數。
2．求一序列中連續子序列的最大和
begin
maxsum:=-maxlongint;
sum:=0;
for i:=1 to n do begin
inc(sum,data[i]);
if sum >maxsum then maxsum:=sum;
if sum< 0 then sum:=0;
end;
writeln(maxsum);
end;