通信中的常見噪聲

本節知識要點：

本節介紹幾種噪聲，它們在通信系統的理論分析中常常用到，實際統計與分析研究證明，這些噪聲的特性是符合具體信道特性的。

2.5.1 白噪聲

在通信系統中，經常碰到的噪聲之一就是白噪聲。所謂白噪聲是指它的功率譜密度函數在整個頻域內是常數，即服從均勻分佈。之所以稱它爲“白”噪聲，是因爲它類似於光學中包括全部可見光頻率在內的白光。凡是不符合上述條件的噪聲就稱爲有色噪聲。
白噪聲的功率譜密度函數通常被定義爲

（2-22）

式中，是一個常數，單位爲W/Hz。若採用單邊頻譜，即頻率在（）的範圍內，白噪聲的功率譜密度函數又常寫成

（2-23）

由信號分析的有關理論可知，功率信號的功率譜密度與其自相關函數

互爲傅氏變換對，即

（2-24）

因此，白噪聲的自相關函數爲

（2-25）

式（2-25）表明，白噪聲的自相關函數是一個位於

處的衝激函數，它的強度爲。這說明，白噪聲只有在

/2時才相關，而在任意兩個不同時刻上的隨機取值都是不相關的。白噪聲的功率譜密度及其自相關函數，如圖2-11所示。

實際上完全理想的白噪聲是不存在的，通常只要噪聲功率譜密度函數均勻分佈的頻率範圍遠遠超過通信系統工作頻率範圍時，就可近似認爲是白噪聲。例如，熱噪聲的頻率可以高到

Hz，且功率譜密度函數在0～

Hz內基本均勻分佈，因此可以將它看作白噪聲。

2.5.2 高斯噪聲

在實際信道中，另一種常見噪聲是高斯噪聲。所謂高斯噪聲是指它的概率密度函數服從高斯分佈（即正態分佈）的一類噪聲。其一維概率密度函數可用數學表達式表示爲

（2-26）

式中，爲噪聲的數學期望值，也就是均值；爲噪聲的方差。
通常，通信信道中噪聲的均值=0。由此，我們可得到一個重要的結論：在噪聲均值爲零時，噪聲的平均功率等於噪聲的方差。證明如下：
因爲噪聲的平均功率

（2-27）

而噪聲的方差爲

（2-28）

所以，有

（2-29）

    上述結論非常有用，在通信系統的性能分析中，常常通過求自相關函數或方差的方法來計算噪聲的功率。
    由於高斯噪聲在後續章節中計算系統抗噪聲性能時要反覆用到，下面予以進一步討論。
    式（2-26）可用圖2-12表示。

由公式（2-26）和圖2-12容易看出高斯噪聲的一維概率密度函數具有如下特性：
（l）對稱於直線，即有

（2-30）

（2）在內單調上升，在內單調下降，且在點處達到極大值。當時

（3）（2-31）

（2-32）

且有
（4）表示分佈中心，表示集中的程度。對不同的，表現爲的圖形左右平移；對不同的，的圖形將隨的減小而變高和變窄。
（5）當，時，相應的正態分佈稱爲標準化正態分佈，這時有

(2-33）

現在再來看正態概率分佈函數。
概率分佈函數用來表示隨機變量x的概率分佈情況，按照定義，它是概率密度函數的積分，即

(2-34)

將式（2-26）正態概率密度函數代入，得正態概率分佈函數爲

(2-35)

這個積分不易計算，常引入誤差函數來表述。所謂誤差函數，它的定義式爲

（2-36）

並稱爲互補誤差函數，記爲，即

（2-37）

可以證明，利用誤差函數的概念，正態分佈函數可表示爲

（2-38）

用誤差函數表示的好處是，藉助於一般數學手冊所提供的誤差函數表，可方便查出不同x值時誤差函數的近似值（參見附錄B），避免了式（2-35）的複雜積分運算。此外，誤差函數的簡明特性特別有助於通信系統的抗噪性能分析，在後續的內容中將會看到，式（2-36）和式（2-37）在討論通信系統抗噪聲性能時，非常有用。
    爲了方便以後分析，在此給出誤差函數和互補誤差函數的主要性質：
    （1）誤差函數是遞增函數，它具有如下性質
        1）；
        2）。
    （2）互補誤差函數是遞減函數，它具有如下性質
        1）；
        2）；
        3）。

2.5.3 高斯型白噪聲

    我們已經知道，白噪聲是根據噪聲的功率譜密度是否均勻來定義的，而高斯噪聲則是根據它的概率密度函數呈正態分佈來定義的，那麼什麼是高斯型白噪聲呢？
    高斯型白噪聲也稱高斯白噪聲，是指噪聲的概率密度函數滿足正態分佈統計特性，同時它的功率譜密度函數是常數的一類噪聲。這裏值得注意的是，高斯型白噪聲同時涉及到噪聲的兩個不同方面，即概率密度函數的正態分佈性和功率譜密度函數均勻性，二者缺一不可。
    在通信系統的理論分析中，特別是在分析、計算系統抗噪聲性能時，經常假定系統中信道噪聲（即前述的起伏噪聲）爲高斯型白噪聲。其原因在於，一是高斯型白噪聲可用具體的數學表達式表述（比如，只要知道了均值和方差，則高斯白噪聲的一維概率密度函數便可由式（2-26）確定；只要知道了功率譜密度值/2，高斯白噪聲的功率譜密度函數便可由式（2-22）決定），便於推導分析和運算；二是高斯型白噪聲確實反映了實際信道中的加性噪聲情況，比較真實地代表了信道噪聲的特性。

2.5.4 窄帶高斯噪聲

    通信的目的在於傳遞信息，通信系統的組成往往是爲攜帶信息的信號提供一定帶寬的通道，其作用在於一方面讓信號暢通無阻，同時最大限度的抑制帶外噪聲。所以實際通信系統往往是一個帶通系統。下面研究帶通情況下的噪聲情況。
    1. 窄帶高斯噪聲的定義與表達式
    當高斯噪聲通過以爲中心角頻率的窄帶系統時，就可形成窄帶高斯噪聲。所謂窄帶系統是指系統的頻帶寬度遠遠小於其中心頻率的系統，即的系統。這是符合大多數信道的實際情況的。
    窄帶高斯噪聲的特點是頻譜侷限在附近很窄的頻率範圍內，其包絡和相位都在作緩慢隨機變化。如用示波器觀察其波形，它是一個頻率近似爲，包絡和相位隨機變化的正弦波。
    因此，窄帶高斯噪聲可表示爲

（2-39）

式中，爲噪聲的隨機包絡；爲噪聲的隨機相位。相對於載波的變化而言，它們的變化要緩慢的多。
窄帶高斯噪聲的頻譜和波形示意圖如圖2-13所示。

將式（2-39）展開，可得窄帶高斯噪聲的另外一種表達形式，即

（2-40）

其中

（2-41）

（2-42）

式中

及

分別稱爲

的同相分量和正交分量。可以看出，它們的變化相對於載波

的變化也要緩慢的多。
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    2. 統計特性
    由式（2-39）及式（2-40）可以看出，窄帶高斯噪聲

的統計特性可由

、

或

、

的統計特性確定。反之，由

的統計特性也可確定

、

或

、

的統計特性。下面將不加證明地給出幾個今後特別有用的結論。
（1）一個均值爲零，方差爲

的窄帶高斯噪聲

，假定它是平穩隨機過程（通信系統中的噪聲一般均滿足），則它的同相分量

、正交分量

同樣是平穩高斯噪聲，且均值都爲零，方差也相同。即

（2-43）

（2-44）

式（2-44）常可表示爲

（2-45）

這裏，、、分別表示窄帶高斯噪聲、同相分量和正交分量的方差（亦即功率）。
（2）一個均值爲零，方差爲的窄帶高斯噪聲，假定它是平穩隨機過程，則其隨機包絡服從瑞利分佈，相位服從均勻分佈。即

（2-46）

（2-47）

和的波形如圖2-14所示。

2.5.5 正弦信號加窄帶高斯噪聲

信道中加性噪聲無時不在，信號經過信道傳輸總會受到它的影響。因此，接收端收到的信號實際上是信號與噪聲的合成波。通信系統中，常常碰到的合成信號具有正弦信號加窄帶高斯噪聲的形式，如在分析2ASK、2FSK、2PSK等信號抗噪聲性能時，其信號均爲形式。下面研究該合成信號的包絡及其相位的統計特性。
正弦信號加上信道噪聲後的合成信號可以表示爲