用矩陣乘法優化的線性齊次遞推公式求值

用矩陣乘法優化的線性齊次遞推公式求值

對斐波那契數列，

(fn,fn−1)⋅(1110)=(fn+1,fn)

這樣的話我們可以在常數時間內求出這個通項的下一項。而如果要求第n項，就相當於對這個矩陣進行冪運算。
有沒有想到些什麼？沒錯，見冪就開始快速冪。複雜度logn，比線性求不知道高到哪裏去了。
那麼能不能進一步推廣？當然可以。
如果f(n)=a1f(n−1)+a2f(n−2)+...+akf(n−k)
那麼顯然，

(fn,fn−1,...,fn−k+1,fn−k)⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a1a2...ak−1ak10...0001...00...............00...0000...10⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

(fn+1,fn,...,fn−k+2,fn−k+1)