[動態規劃] 矩陣鏈乘法

原創

2018-09-01 15:53

講解： 個矩陣相乘時， $M_{i}$ 爲 $p_{i - 1}$ 行 $p_{i}$ 列的矩陣，以 $(M_{1}M_{2}....M_{6})$ 爲例進行分析，這些矩陣的乘積有多種計算順序。舉個例子，我們按習慣的從左到右的順序進行計算時可以寫作 $(((((M_{1}M_{2})M_{3})M_{4})M_{5})M_{6})$ ，從左到右計算時可以寫作 $(M_{1}(M_{2}(M_{3}(M_{4}(M_{5}M_{6})))))$ 。除此之外還有 $(M_{1}(M_{2}(M_{3}M_{4})(M_{5}M_{6})))$ 等等，計算的順序多種多樣。這些計算順序得出的結果（矩陣鏈乘積）完全相同，但不同順序下的 “ 乘法運算次數 ” 會有所差異。

處理矩陣鏈乘法問題時，如果檢查所有可能的計算順序，那麼算法的複雜度將達到。不過，由於這個問題能夠分割成更小的局部問題，我們可以運用動態規劃法。

首先， $(M_{1}M_{2})$ 只有一種計算方法（順序），需要 $p_{0}\,\ast\,p_{1}\, \ast \, p_{2}$ 次乘法運算。同理， $(M_{2}M_{3})$ 也只有一種計算方法，需要 $p_{1}\, \ast \, p_{2}\, \ast \, p_{3}$ 次乘法運算。歸納後可知， $(M_{i}M_{i + 1})$ 只有一種計算方法，需要 $p_{i - 1}\, \ast \, p_{i}\, \ast \, p_{i+1}$ 次乘法運算。於是我們將這些運算次數視爲 “ 成本 ” 記錄在表中。

接下來求 $(M_{1}M_{2}M_{3}),\,(M_{2}M_{3}M_{4})\,,....,\,(M_{n - 2}M_{n-1}M_{n})$ 的最優計算方法。舉個例子，計算 $(M_{1}M_{2}M_{3})$ 的最優計算方法時，我們要分別算出 $(M_{1}(M_{2}M_{3}))$ 與 $((M_{1}M_{2})M_{3})$ 的成本，取其中最小的一個作爲 $(M_{1}M_{2}M_{3})$ 的成本記錄在表中。這裏：

$(M_{1}(M_{2}M_{3}))$ 的成本 $(M_{1})$ 的成本 $(M_{2}M_{3})$ 的成本 $p_{0}\,\ast\,p_{1}\,\ast\,p_{3}$
$((M_{1}M_{2})M_{3})$ 的成本 $(M_{2}M_{3})$ 的成本 $(M_{3})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{2}\,\ast\,p_{3}$

請注意，這一步用到的 $(M_{1}M_{2})$ 和 $(M_{2}M_{3})$ 的成本可以直接從表中引用，不需要再進行計算。另外還要注意，當 $1\leqslant i \leqslant n$ 時， $(M_{i})$ 的成本爲。

一般情況下，矩陣鏈乘法 $(M_{i}M_{i+1}.....M_{j})$ 的最優解就是 $(M_{i}M_{i+1}...M_{k})(M_{k+1}...M_{j})$ 的最小成本（其中 $i \leqslant k < j$ ）。

舉個例子， $(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5})$ $(i = 1,\,j = 5 )$ 時的最優解就是下列式子中的最小值。

$(M_{1})(M_{2}M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $(M_{1})$ 的成本 $(M_{2}M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $+\, p_{0}\,\ast\,p_{1}\,\ast\,p_{5}$
$(M_{1}M_{2})(M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $(M_{1}M_{2})$ 的成本 $+\,(M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{2}\,\ast\,p_{5} \,(k = 2)$
$(M_{1}M_{2}M_{3})(M_{4}M_{5})$ 的成本 $=\,(M_{1}M_{2}M_{3})$ 的成本 $+\,(M_{4}M_{5})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{3}\,\ast\,p_{5}\,(k = 3)$
$(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4})(M_{5})$ 的成本 $=\,(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4})$ 的成本 $+\,(M_{5})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{4}\,\ast\,p_{5}$

現在來看看這個算法的具體實現方法。先準備下述變量。

	該二維數組中，表示計算 $(M_{i}M_{i+1}...M_{j})$ 時所需要乘法運算的最小次數
	該一位數組用於儲存矩陣的行列數，其中 $M_{i}$ 是 $p[i - 1] \,\ast\,p[i]$ 的矩陣

利用上述變量，我們可以利用下面的式子求出。

$m[i][j] = \left\{\begin{matrix} 0& & (if \, i = j)\\ min_{i\leqslant k<j}(m[i][k] + m[k+1][j] + p[i - 1]\,\ast\,p[k]\,\ast\,p[j])& & (if\,i <j) \end{matrix}\right.$

這個算法的實現方法如下：

matrixChainMultiplication()
    for i = 1 to n
        m[i][j] = 0

    for l = 2 to n
        for i = 1 to n - l + 1
            j = i + l - 1
            m[i][j] = INFTY
            for k = i to j - 1
                m[i][j] = min(m[i][j], m[i][k] + m[k + l][j] + p[i - l] * p[k] * p[j])

考察：這個算法需要讓對象的矩陣對象的數量從逐步增加到，同時對於每個要通過不斷改變和來改變指定範圍。除此之外，還需要在和的範圍內讓不斷變化。整個算法由三重循環構成，因此複雜度爲 $O(n^{3})$ 。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

static const int N = 100;

int main() {
    int n, p[N + 1], m[N + 1][N + 1];
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++）
        cin >> p[i - 1] >> p[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][j] = 0;
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;
            m[i][j] = (1 << 21);
            for (int k = i; k <= j - 1; k++)
                m[i][j] = min(m[i][j], m[i][k] + m[k + l][j] + p[i - l] * p[k] * p[j]);
        }
    }

    cout << m[l][n] << endl;

    return 0;
}

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