hihocoder:1032 : 最長迴文子串

一、問題描述

現給定一個已知的字符串str[]，現在想要在O(n)的時間複雜度之內求出一個最長的迴文子字符串(正着和倒着順序讀一致)。

Manacher最早發現了可以用O(n)的時間複雜度來解決該問題，所以這種方法稱之爲Manacher算法。

二、符號說明

P[]存放的是迴文子串的半徑

三、Manacher算法主要思想

Manacher算法精髓就是對稱的思想，

假設i是我們將要計算迴文串半徑的字符，就是下一步我們要計算P[i]。

我們已知：

1，以id爲中心，P[id]爲半徑的範圍正好可以覆蓋i;  if (id+P[id]>i)

2,  以id爲對稱中心，i的對稱點是j，P[j]我們正好也知道。

可以得到：

P[i]>=min(P[id]-(id-j),  P[j]);

原因：如果j的半徑較小，那麼i的半徑必須等於P[j]，（如果i的半徑比j大，又因爲i和j關於id對稱，兩者就矛盾了，所以i的半徑在這種情況下只能等於j的半徑）；如下圖由對稱性1和2相等，2和3相等，3和4相等——》p[j]>p[j] 矛盾！ 所以i的半徑必須等於P[j]！

如果j的半徑較大，那麼i的半徑只能等於P[id]-(id-j)（假設i的半徑大於P[id]-(id-j)，由於對稱性，則j的半徑要大於P[j]，這也於已知矛盾。）如下圖：如下圖由對稱性1和2相等，2和3相等，3和4相等——》p[id]>p[id] 矛盾！ 所以i的半徑必須等於P[id]-(id-j)！

    除此之外，就是P[id]爲半徑的範圍沒有覆蓋i;  

     這種情況就只能i以自己爲中心計算半徑了。

四  代碼：

和上面圖像有些不同，代碼裏的對稱中心是j，所以以j爲中心i的對稱點就是2 * j - i，

for (int i = 1; i < len; i++)

    {

        if (j+P[j]>i)  //這種情況，j才能作爲i的對稱中心來簡化計算，算法的精髓在P[i] >=min(P[2 * j - i],j+P[j]-i);

        {

            P[i] = min(P[2 * j - i],j+P[j]-i);

        }

        else        //這種情況，p[i]要重新計算，

        {

            P[i] = 1;

        }

        while (newstr[i + P[i]] == newstr[i - P[i]] && i + P[i] <= len)//以i爲對稱中心，看i兩邊的元素是否相等，更新p[i]

        {

            P[i]++;

        }

        if ((j + P[j]) < i + P[i])

            j = i;

        if (P[i]>maxlength)//maxlength用來統計最長的迴文串長度

            maxlength = P[i];

    }

    return;

}