動態規劃-最長公共子序列、最長公共子串

首先，動態規劃是一種算法。那麼，何謂算法？計算機書籍中不難找到其嚴謹的學術定義，大衆可以簡單理解爲“解決某一類問題的核心思想”。

先談動態規劃的意義——望文生義，“動態”規劃對應“動態”的問題：你並不知道問題的規模會有多大，而不論是個位數還是百萬級，都能以較快速度(動態規劃是一種泛用性算法，而泛用性算法與特定算法相比往往存在性能差距)將結果正確計算出來。這是對於計算機科學最直觀的意義，當然我認爲其對人生亦有一定指導意義，但那是見仁見智的事了。

動態規劃這一思想的實質其實是以下兩點：
1.分析問題，構造狀態轉移方程
2.以空間換時間

讓我們結合一個簡單例子來理解一下：
以乘法計算爲例，乘法的定義其實是做n次加法，請先忘掉九九乘法表，讓你計算9*9，如何得到81這個解？計算9*10呢？9*999……以及9*n呢？
1.分析問題，構造狀態轉移方程
“狀態轉移方程”的學術定義亦可簡單找到（比如置頂答案），略去不表。光看“方程”二字，可以明白它是一個式子。
針對以上問題，我們構造它的狀態轉移方程。
問題規模小的時候，我們可以容易得到以下式子：
9*0=0；
9*1=0+9；
9*2=0+9+9；
……
可以得到：9*n=0+9+...+9(總共加了n個9)。嚴謹的證明可以使用數學歸納法，略去不表。
現在，定義dp(n)=9*n,改寫以上式子：
dp(0)=9*0=0；
dp(1)=9*1=dp(0)+9；
dp(2)=9*2=dp(1)+9；
……
作差易得：dp(n)=dp(n-1)+9；這就是狀態轉移方程了。
可以看到，有了狀態轉移方程，我們現在可以順利求解9*n（n爲任意正整數）這一問題。
2.以空間換時間
雖然能解，但當n很大時，計算耗時過大，看不出狀態轉移方程dp(n)=dp(n-1)+9與普通方程9*n=0+9+...+9(總共加了n個9)相比沒有任何優勢。
這時，如果dp(n-1)的結果已知，dp(n)=dp(n-1)+9只需計算一次加法，而9*n=0+9+...+9(總共加了n個9)則需計算n-1次加法，效率差異一望即知。
存儲計算結果，可令狀態轉移方程加速，而對普通方程沒有意義。
以空間換時間，是令動態規劃具有實用價值的必備舉措。【轉載知乎】

public static int static lcsLength(String a,String b){   //兩個字符串的最長公共子序列
    int m=a.length();int n=b.length();
    int c[][] = new int[m+1][n+1];
    for(int i=1;i<= m;i++){
      for(int j=1;i<=n;j++){
        if(a.charAt(i-1) == b.charAt(j-1)){
             c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;       
         }else{

          c[i][j]  =Math.max(c[i-1][j-1],Math.max(c[i-1][j],c[i][j-1]));

} } }

     return c[m][n];

}

public static int findLength(String a,String b){    // 兩個字符串的最長公共子串
    	int m = a.length();
    	int n = b.length();
    	int dp[][] = new int[m+1][n+1];
    	int max = 0;
    	for(int i=1;i<=m;i++){
    		for(int j=1;j<=n;j++){
    			if(a.charAt(i-1) == b.charAt(j-1)){
    				dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
    			}else{
    				dp[i][j] =0;
    			}
    			if(max < dp[i][j]){
    				max = dp[i][j];
    			}
    		}
    	}
    	return max;
    }