素數判定問題

算法邏輯：

    輸入：大於2的正整數n
    輸出：該數是否爲素數，若是返回true，否則返回false
    步驟1：設除數 i 爲2
    步驟2：判斷除數 i 是否已爲 n ，若爲真返回true，否則繼續
    步驟3：判斷 n%i 是否爲0，若爲真返回false，否則繼續
    步驟4：除數 i 遞增，重複步驟2

算法：

bool isPrime(unsigned int n){
    unsigned int i = 2;
    while(i < n){
        if(n % i == 0){
            return false;
        }
        i++;
    }
    return true;
}

改進一：
若一個數n是合數，假設其有兩個因子p和q，則必有一個因子小於根號n，故只需遍歷到根號n。
使用sqrt在c中需包含頭文件math.h，在c++中需包含頭文件cmath，在Linux中編譯需在g++後加-lm鏈接函數庫。

bool isPrime(unsigned int n){
    unsigned int i = 2;
    while (i <= (unsigned int)sqrt(n)){
        if (n % i == 0){
            return false;
        }
        i++;
    }
    return true;
}

改進二：
若一個數是偶數（大於2），則這個數一定是合數，故只需檢驗奇數因子

bool isPrime(unsigned int n){
    unsigned int i = 3;
    if (n % 2 == 0){
        return false;
    }
    while (i <= (unsigned int)sqrt(n)){
        if (n % i == 0){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}

改進三：
某些完全平方數開平方在計算機中表示可能有誤差，在開平方後加一即可。

bool isPrime(unsigned int n){
    unsigned int i = 3;
    if (n % 2 == 0){
        return false;
    }
    while (i <= (unsigned int)sqrt(n) + 1){
        if (n % i == 0){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}

改進四：
平方根函數寫在循環條件內會增大運算負擔，只需計算一次即可。

bool isPrime(unsigned int n){
    unsigned int i = 3, t = (unsigned int)sqrt(n) + 1;
    if (n % 2 == 0){
        return false;
    }
    while (i <= t){
        if (n % i == 0){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}