红黑树是一种二叉平衡树，在每一个结点增加了一个存储位表示结点的颜色，以维持它的平衡。
红黑树性质
（1）红黑树结点有如下域：color，key，left，right，p；我们把这些NIL结点是为指向外结点的指针，可以自己定义；
（2）每一个结点不是红的就是黑的，根节点和NIL结点都是黑的；
（3）如果一个节点是红的，那么它的父亲和两个孩子都是黑的；
（4）对于每一个结点，它到其子孙结点的所有路径上的包含相同数目的black结点，并不要求父节点到每一层的黑高度相同；
注1：可以使用同一的一个NIL来表示所有的叶子结点和根部的父节点，这样可以减少浪费内存，该NIL的父亲就是上述的普通结点，这样查找不成功时，就可以重新回到根节点root；
注2：设某个结点x出发到达任意一个节点的任意路径上，黑结点的个数称为该节点的黑高度，bh(x)表示；可归纳证明出根节点至少有2^h-1个结点，故n>=2^h-1，求得h<=2lg(n+1)；
红黑树插入
（1）为了保持上述红黑树的性质（4），插入的节点z颜色一定是红色，其父节点为p;
（2）若刚开始树为空，则z是根节点，p为NIL节点，则将z的结点改为黑色；
（3）若p的颜色是黑色，则直接插入，因为红黑树的性质完全保持；
（4）若p的颜色是红色，违反红黑树的性质3，此时要讨论情况；
（4.1）若p是p父亲的左孩子；
（4.1.1）若p的兄弟节点ps是红色，则改变p和ps为黑色，p父节点改为红色，此时p父节点为新的z，继续判别；
（4.1.2）若p的兄弟节点ps是黑色，且z是父亲的右孩子，做一次左旋，到情况（4.1.3）；
（4.1.3）若p的兄弟节点ps是黑色，且z是父亲的左孩子，做一次右旋，改变z父亲颜色为黑色，z祖父颜色为红色，完毕；
（4.2）若p是p父亲的右孩子；情况与（4.1）类似，执行相反的动作；
（5）始终将根节点的颜色置为黑，因为处理时根节点有可能变红；
（6）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1)；
红黑树删除
（1）首先根据二叉平衡树的删除原理，找到被删除的节点y，x是y的子女（肯定只有一个），x会连接到y的父亲上；
（2）若y为红色，直接删掉，因为红黑树的性质保持不变；
（3）若y为黑色节点，x为红色，则直接删掉y，将x变为黑色；
（4）若y为黑色节点，x（可以为NIl节点）为黑色，则删掉y，将x变为双黑色；
（4.1）若x是x父亲的左孩子，分别有四种情况来讨论；
（4.1.1）若x的兄弟是红色，则左旋一次，改变兄弟颜色为黑，父亲颜色为红，则它仍为新的x，继续；
（4.1.2）若x的兄弟是黑色，且x兄弟的两个孩子都是黑色，则去掉x的一重黑色，将兄弟颜色变为红，将去掉的一重黑色，给x的父亲，若x父亲是红色，则直接改成黑色，否则将变成双黑，成为新的x，继续；
（4.1.3）若x的兄弟是黑色，且x兄弟的右孩子黑色，左孩子是红色，则先将x兄弟那一块右旋，改色，使得x兄弟的右孩子变为红色；进入（4.1.4）；
（4.1.4）若x的兄弟是黑色，且x兄弟的右孩子红色，左孩子可任意色，则左旋，改变x兄弟右孩子颜色为黑色，兄弟变为父亲的颜色，父亲变为黑色，自己去掉一重颜色，完毕；
（4.2）若x是x父亲的右孩子，分别也有四种情况来讨论，但与（4.1）对称，相反来处理；
（5）若根为双黑，直接变为单黑，返回；
（6）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1)；
红黑树定义：
typedef struct ngx_rbtree_node_s ngx_rbtree_node_t;
//红黑树节点的定义
struct ngx_rbtree_node_s {
ngx_rbtree_key_t key; //关键字
ngx_rbtree_node_t *left; //左子节点
ngx_rbtree_node_t *right; //右子节点
ngx_rbtree_node_t *parent;//父节点
u_char color; //颜色，非红即黑
u_char data; //1个字节的节点数据，空间较小很少使用；
};
typedef struct ngx_rbtree_s ngx_rbtree_t;
//为解决不同节点含有相同关键字元素冲突问题，设置该指针，灵活的添加冲突元素
typedef void (*ngx_rbtree_insert_pt) (ngx_rbtree_node_t *root,
ngx_rbtree_node_t *node, ngx_rbtree_node_t *sentinel);
//红黑树的定义
struct ngx_rbtree_s {
ngx_rbtree_node_t *root; //指向树的根节点，根结点也是数据元素
ngx_rbtree_node_t *sentinel; //指向哨兵NIL节点
ngx_rbtree_insert_pt insert; //添加元素的函数指针
}; 左旋转和右旋转
//左旋转
static ngx_inline void
ngx_rbtree_left_rotate(ngx_rbtree_node_t **root, ngx_rbtree_node_t *sentinel,
ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_rbtree_node_t *temp;
temp = node->right; //要旋转节点的右孩子p
node->right = temp->left; //当前节点的右孩子指向改变p的左孩子
if (temp->left != sentinel) { //不是NIL节点时
temp->left->parent = node; //修改父亲的指向
}
temp->parent = node->parent; //p指向要旋转节点的父亲
if (node == *root) { //如果当前旋转节点的是根结点，那么根指向要改变
*root = temp;
} else if (node == node->parent->left) { //左孩子时
node->parent->left = temp; //新的左孩子
} else {
node->parent->right = temp; //新的右孩子
}
temp->left = node; //p的左孩子指向
node->parent = temp; //父亲改变
}
//右旋转，与上述左边旋转对称
static ngx_inline void
ngx_rbtree_right_rotate(ngx_rbtree_node_t **root, ngx_rbtree_node_t *sentinel,
ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_rbtree_node_t *temp;
temp = node->left;
node->left = temp->right;
if (temp->right != sentinel) {
temp->right->parent = node;
}
temp->parent = node->parent;
if (node == *root) {
*root = temp;
} else if (node == node->parent->right) {
node->parent->right = temp;
} else {
node->parent->left = temp;
}
temp->right = node;
node->parent = temp;
}
void
ngx_rbtree_insert_value(ngx_rbtree_node_t *temp, ngx_rbtree_node_t *node,
ngx_rbtree_node_t *sentinel)
{
//temp为初始时为指向根节点
ngx_rbtree_node_t **p;
for ( ;; ) {
p = (node->key < temp->key) ? &temp->left : &temp->right; //目标节点的值小于当前节点的值时，向左走即走向左节点，否则向右
if (*p == sentinel) { //一直找到该节点的孩子指向的是NIL节点，直接break
break;
}
temp = *p; //改变方向
}
//注意使用地址的地址，才能改变某节点的孩子的指向，否则改变不了
*p = node; //该处指向新的节点，*p（某节点的孩子）本来指向sentinel，现在指向node了
node->parent = temp;
node->left = sentinel; //指向NIL
node->right = sentinel;
ngx_rbt_red(node); //插入的节点均为红色
} void
ngx_rbtree_insert(ngx_rbtree_t *tree, ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_rbtree_node_t **root, *temp, *sentinel;
/* a binary tree insert */
root = (ngx_rbtree_node_t **) &tree->root; //指向根节点指针的指针，可改变指向根节点指针的指向
sentinel = tree->sentinel; //取出NIL节点
if (*root == sentinel) { //说明此时红黑树为空
node->parent = NULL;
node->left = sentinel; //指向NIL
node->right = sentinel;
ngx_rbt_black(node); //node节点直接置为黑
*root = node; //根节点直接指向该节点
return;
}
tree->insert(*root, node, sentinel);
//插入节点，如ngx_rbtree_insert_value(ngx_rbtree_node_t *temp, ngx_rbtree_node_t *node, ngx_rbtree_node_t *sentinel)
/* re-balance tree */
//红黑树平衡
//当前节点不为根节点，而且当前节点的父亲为红色时
while (node != *root && ngx_rbt_is_red(node->parent)) {
if (node->parent == node->parent->parent->left) { //当前节点的父亲是左节点时
temp = node->parent->parent->right; //当前节点的父亲的右兄弟
//向上转移
if (ngx_rbt_is_red(temp)) {
//对应算法导论第三版P179的情况1
ngx_rbt_black(node->parent); //当前节点的父亲变黑
ngx_rbt_black(temp); //当前节点的父亲的右兄弟变黑
ngx_rbt_red(node->parent->parent);//当前节点的父亲的父亲变红
node = node->parent->parent; //当前节点变为该当前节点的父亲的父亲
} else { //当前节点的父亲的右兄弟为黑色时
//对应算法导论第三版P179的情况2
//当前节点是右节点时，先左旋转
if (node == node->parent->right) {
node = node->parent; //当节点变为父节点
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, node); //当前节点左旋转
}
//对应算法导论第三版P179的情况3
ngx_rbt_black(node->parent); //当前节点的父亲变为黑色
ngx_rbt_red(node->parent->parent); //当前节点的父亲的父亲变为黑色
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, node->parent->parent); //当前节点父亲的父亲右旋转
}
} else { //相反，对称操作
temp = node->parent->parent->left;
if (ngx_rbt_is_red(temp)) {
ngx_rbt_black(node->parent);
ngx_rbt_black(temp);
ngx_rbt_red(node->parent->parent);
node = node->parent->parent;
} else {
if (node == node->parent->left) {
node = node->parent;
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, node);
}
ngx_rbt_black(node->parent);
ngx_rbt_red(node->parent->parent);
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, node->parent->parent);
}
}
}
ngx_rbt_black(*root); //最后始终着色根结点为黑色
} 删除节点：
void
ngx_rbtree_delete(ngx_rbtree_t *tree, ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_uint_t red;
ngx_rbtree_node_t **root, *sentinel, *subst, *temp, *w;
/* a binary tree delete */
root = (ngx_rbtree_node_t **) &tree->root;
sentinel = tree->sentinel;
//subst为要替代的节点
//temp为将要替代节点的孩子
if (node->left == sentinel) { //删除节点为左孩子为NIL节点
temp = node->right;
subst = node;
} else if (node->right == sentinel) {
temp = node->left;
subst = node;
} else {
subst = ngx_rbtree_min(node->right, sentinel); //找到以删除节点右孩子为根的最小值节点
if (subst->left != sentinel) {
temp = subst->left;
} else { //通过ngx_rbtree_min找到的，该最小值节点的左孩子一定是NIL
temp = subst->right;
}
}
if (subst == *root) { //subst为要删除的节点为根节点时
*root = temp; //指向新的根节点
ngx_rbt_black(temp);
/* DEBUG stuff */
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->parent = NULL;
node->key = 0;
return;
}
red = ngx_rbt_is_red(subst); //直接取颜色
if (subst == subst->parent->left) {
subst->parent->left = temp; //父亲的左孩子指向要删除节点的左孩子
} else {
subst->parent->right = temp; //父亲的右孩子指向要删除节点的右孩子
}
if (subst == node) { //要删除的节点为原始的节点时
temp->parent = subst->parent; //父亲节点指向的改变
} else {
if (subst->parent == node) { //通过ngx_rbtree_min一开始就不成立，即node->right的left为NIL节点
temp->parent = subst;
} else {
temp->parent = subst->parent; //通过ngx_rbtree_min找到的
}
subst->left = node->left; //指向node的左孩子
subst->right = node->right; //指向node的右孩子
subst->parent = node->parent;
ngx_rbt_copy_color(subst, node); //将node节点的颜色复制给subst节点
if (node == *root) {
*root = subst; //指向新的根节点
} else {
if (node == node->parent->left) {
node->parent->left = subst; //改变父亲孩子指向到subst
} else {
node->parent->right = subst;
}
}
if (subst->left != sentinel) { //改变subst孩子的指向
subst->left->parent = subst;
}
if (subst->right != sentinel) {
subst->right->parent = subst;
}
}
/* DEBUG stuff */
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->parent = NULL;
node->key = 0;
if (red) { //如果删除的节点的颜色为红色，直接返回
return;
}
//平衡
/* a delete fixup */
//孩子节点，如果孩子节点为黑色时
while (temp != *root && ngx_rbt_is_black(temp)) {
if (temp == temp->parent->left) { //temp为左孩子时
w = temp->parent->right; //temp的右兄弟
//算法导论第三版P186中的情况a
if (ngx_rbt_is_red(w)) { //temp的右兄弟为红色时
ngx_rbt_black(w); //temp的右兄弟变为黑色
ngx_rbt_red(temp->parent); //temp的父亲变为红色色
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, temp->parent); //以temp->parent左旋转
w = temp->parent->right; //新的右兄弟，将会到以下几种情况
}
//算法导论第三版P186中的情况b
//当temp的右兄弟的两个孩子均为黑色时
if (ngx_rbt_is_black(w->left) && ngx_rbt_is_black(w->right)) {
ngx_rbt_red(w); //将右兄弟变为红色
temp = temp->parent; //将以新的temp进行新的一次循环
} else {
//算法导论第三版P186中的情况c
if (ngx_rbt_is_black(w->right)) { //如果右兄弟的右孩子是黑色的
ngx_rbt_black(w->left); //w的左孩子变黑
ngx_rbt_red(w); //w变红
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, w); //以w右旋
w = temp->parent->right; //新的右兄弟，直接执行情况c
}
//算法导论第三版P186中的情况d
ngx_rbt_copy_color(w, temp->parent); //右兄弟变成父亲的颜色
ngx_rbt_black(temp->parent); //temp的父亲变黑
ngx_rbt_black(w->right); //右兄弟的右孩子变黑
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, temp->parent); //以temp的父亲右旋
temp = *root; //结束，直接指向根结点
}
} else { //与上述情况相反，做对称操作
w = temp->parent->left;
if (ngx_rbt_is_red(w)) {
ngx_rbt_black(w);
ngx_rbt_red(temp->parent);
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, temp->parent);
w = temp->parent->left;
}
if (ngx_rbt_is_black(w->left) && ngx_rbt_is_black(w->right)) {
ngx_rbt_red(w);
temp = temp->parent;
} else {
if (ngx_rbt_is_black(w->left)) {
ngx_rbt_black(w->right);
ngx_rbt_red(w);
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, w);
w = temp->parent->left;
}
ngx_rbt_copy_color(w, temp->parent);
ngx_rbt_black(temp->parent);
ngx_rbt_black(w->left);
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, temp->parent);
temp = *root;
}
}
}
//temp为红色时，直接将temp置为黑色
ngx_rbt_black(temp);
}