大話數據結構學習筆記 - 圖的最小生成樹之Kruskal算法

大話數據結構學習筆記 - 圖的最小生成樹之Kruskal算法

Kruskal算法

克魯斯卡爾(Kruskal)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法

大話數據結構定義

假設 N=(V,{E})$N=(V,\{E\})$ 是連通網，則令最小生成樹的初始狀態爲只有n個頂點而無邊的非連通圖 T={V,{}}$T=\{V,\{\}\}$ 。圖中每個頂點自成一個連通分量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在T中不同的連通分量上，則將此邊加入到T中，否則社區此邊而選擇下一條代價最小的邊，以此類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上爲止。

基本思想

按照權值從小到大的順序選擇n - 1條邊，並保證這n - 1條邊不構成迴路

具體做法

首先構造一個只含n個頂點的森林，然後依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使森林不產生迴路，直至森林變成過一棵樹爲止

Kruskal算法圖解

以上圖G4爲例，使用克魯斯卡爾算法進行演示實現最小生成樹，用parent表示

第零步： 將鄰接矩陣轉換爲邊表數組，並且按權值大小排序

第一步： 將邊<E,F>$<E,F>$ 加入最小生成樹中

​ 邊<E,F>$<E,F>$ 的權值最小，故將其加入最小生成樹

第二步： 將邊<C,D>$<C,D>$ 加入最小生成樹中

​ 上一步操作後， 邊<C,D>$<C,D>$ 的權值最小，故將其加入最小生成樹

第三步： 將邊<D,E>$<D,E>$ 加入最小生成樹中

​ 上一步操作後， 邊<D,E>$<D,E>$ 的權值最小，故將其加入最小生成樹

第四步： 將邊<B,F>$<B,F>$ 加入最小生成樹中

​ 上一步操作後，邊<C,E>$<C,E>$ 的權值最小， 但邊<C,E>$<C,E>$ 會和最小生成樹中的已有邊構成迴路，故跳過。同理，跳過邊<C,F>$<C,F>$

第五步：將邊<E,G>$<E,G>$ 加入到最小生成樹中

​ 上一步操作後，邊<E,G>$<E,G>$ 的權值最小，故將其加入到最小生成樹中

第六步： 將邊<A,B>$<A,B>$ 加入到最小生成樹中

​ 上一步操作後，邊<F,G>$<F,G>$ 權值最小， 但會和已有邊構成迴路，跳過。同理跳過邊<B,C>$<B,C>$ 。將邊<A,B>$<A,B>$ 加入

此時，最小生成樹構造完成，含有的依次爲<E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B>$<E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B>$

Kruskal算法要點

1. 對圖的所有邊按照權值大小排序

   此問題可通過代碼實例理解

2. 將邊添加到最小生成樹中，如何判斷是否形成迴路

   通過記錄每個頂點在最小生成樹中的終點。終點即在最小生成樹中與它連通的最大頂點。每次添加一條邊到最小生成樹中時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合則構成迴路。

   在將<E,F><C,D><D,E>$<E,F><C,D><D,E>$ 加入到最小生成樹中後，這幾條邊的頂點就都有了終點

   • C的終點是F
   • D的終點是F
   • E的終點是F
   • F的終點是F

   關於終點，就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之後；某個頂點的終點就是”與它連通的最大頂點”。 雖然邊<C,E>$<C,E>$ 權值最小，但終點都是F， 故會形成迴路

Kruskal算法代碼

Edge邊集數組結構

typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;

算法

/* 生成最小生成樹 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int k = 0;
    int parent[MAXVEX];  /* 定義一數組用來判斷邊與邊是否形成環路 */
    Edge edges[MAXEDGE];  /* 定義邊集數組,edge的結構爲begin,end,weight,均爲整型 */

    /* 用來構建邊集數組並排序********************* */
    for(i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
    {
        for(j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            if(G.arc[i][j] < INF)
            {
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    sort(edges, &G);
    /* ******************************************* */

    printf("打印最小生成樹：\n");

    for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
        parent[i] = 0;  /* 初始化數組值爲0 */

    for(i = 0; i < G.numEdges; i++)  /* 循環每一條邊 */
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);
        m = Find(parent, edges[i].end);
        if(n != m)  /* 假如n與m不等，說明此邊沒有與現有的生成樹形成環路 */
        {
            parent[n] = m;  /* 將此邊的結尾頂點放入下標爲起點的parent中。 表示此頂點已經在生成樹集合中*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }

}

算法源碼

鄰接矩陣源碼

參考資料

• 大話數據結構
• Kruskal算法(一)之 C語言詳解