環冗餘校驗碼
在串行傳送（磁盤、通訊）中，廣泛採用循環冗餘校驗碼（CRC）。CRC也是給信息碼加上幾位校驗碼，以增加整個編碼系統的碼距和查錯糾錯能力。CRC的理論很複雜，一般書上只介紹已有生成多項式後計算校驗碼的方法。檢錯能力與生成多項式有關，只能根據書上的結論死記。
循環冗餘校驗碼（CRC）的基本原理是：在K位信息碼後再拼接R位的校驗碼，整個編碼長度爲N位，因此，這種編碼又叫（N，K）碼。對於一個給定的（N，K）碼，可以證明存在一個最高次冪爲N-K=R的多項式G(x)。根據G(x)可以生成K位信息的校驗碼，而G(x)叫做這個CRC碼的生成多項式。
校驗碼的具體生成過程爲：假設發送信息用信息多項式C(X)表示，將C(x)左移R位，則可表示成C(x)*2R，這樣C(x)的右邊就會空出R位，這就是校驗碼的位置。通過C(x)*2R除以生成多項式G(x)得到的餘數就是校驗碼。
1、多項式與二進制數碼
多項式和二進制數有直接對應關係：x的最高冪次對應二進制數的最高位，以下各位對應多項式的各冪次，有此冪次項對應1，無此冪次項對應0。可以看出：x的最高冪次爲R，轉換成對應的二進制數有R+1位。
2、生成多項式
是接受方和發送方的一個約定，也就是一個二進制數，在整個傳輸過程中，這個數始終保持不變。在發送方,利用生成多項式對信息多項式做模2除生成校驗碼。在接受方利用生成多項式對收到的編碼多項式做模2除檢測和確定錯誤位置。
3、應滿足以下條件：
a、生成多項式的最高位和最低位必須爲1。
b、當被傳送信息（CRC碼）任何一位發生錯誤時，被生成多項式做模2除後應該使餘數不爲0。
c、不同位發生錯誤時，應該使餘數不同。
d、對餘數繼續做模2除，應使餘數循環。
將這些要求反映爲數學關係是比較複雜的。但可以從有關資料查到常用的對應於不同碼制的生成多項式如圖9所示：
4、模2除
模2除做法與算術除法類似，但每一位除（減）的結果不影響其它位，即不向上一位借位。所以實際上就是異或。然後再移位移位做下一位的模2減。步驟如下：
a、用除數對被除數最高几位做模2減，沒有借位。
b、除數右移一位，若餘數最高位爲1，商爲1，並對餘數做模2減。若餘數最高位爲0，商爲0，除數繼續右移一位。
c、一直做到餘數的位數小於除數時，該餘數就是最終餘數。
5、CRC的和糾錯
在接收端收到了CRC碼後用生成多項式爲G(x)去做模2除，若得到餘數爲0,則碼字無誤。若如果有一位出錯，則餘數不爲0，而且不同位出錯，其餘數也不同。可以證明，餘數與出錯位的對應關係只與碼制及生成多項式有關，而與待測碼字（信息位）無關。圖10給出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出錯模式，改變C(x)（碼字），只會改變表中碼字內容，不改變餘數與出錯位的對應關係。
如果循環碼有一位出錯，用G(x)作模2除將得到一個不爲0的餘數。如果對餘數補0繼續除下去，我們將發現一個有趣的結果；各次餘數將按圖10順序循環。例如第一位出錯，餘數將爲001，補0後再除，第二次餘數爲010，以後依次爲100，0ll…，反覆循環，這就是“循環碼”名稱的由來。這是一個有價值的特點。如果我們在求出餘數不爲0後，一邊對餘數補0繼續做模2除，同時讓被檢測的校驗碼字循環左移。圖10說明，當出現餘數(101)時，出錯位也移到A7位置。可通過異或門將它糾正後在下一次移位時送回A1。這樣我們就不必像海明校驗那樣用譯碼電路對每一位提供糾正條件。當位數增多時，循環碼校驗能有效地降低硬件代價，這是它得以廣泛應用的主要原因。 通信與網絡中常用的CRC 。在數據通信與網絡中，通常k相當大，由一千甚至數千數據位構成一幀，而後採用CRC碼產生r位的校驗位。它只能檢測出錯誤，而不能糾正錯誤。一般取r=16，標準的16位生成多項式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
一般情況下，r位生成多項式產生的CRC碼可檢測出所有的雙錯、奇數位錯和突發長度小於等於r的突發錯以及（1-2-(r-1)）的突發長度爲r+1的突發錯和（1-2-r）的突發長度大於r+1的突發錯。例如，對上述r=16的情況，就能檢測出所有突發長度小於等於16的突發錯以及99．997%的突發長度爲17的突發錯和99．998%的突發長度大於17的突發錯。 所以CRC碼的檢錯能力還是很強的。這裏，突發錯誤是指幾乎是連續發生的一串錯，突發長度就是指從出錯的第一位到出錯的最後一位的長度(但是，中間並不一定每一位都錯)。