取模運算法則,異或運算法則

一.取模運算法則(百度百科)

定義

給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式：
n = kp + r ；
其中 k、r 是整數，且 0 ≤ r < p，則稱 k 爲 n 除以 p 的商，r 爲 n 除以 p 的餘數。
對於正整數 p 和整數 a,b，定義如下運算：
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。
模p加法：，其結果是a+b算術和除以p的餘數。
模p減法：，其結果是a-b算術差除以p的餘數。
模p乘法：，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。
說明：
1. 同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記做或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性質
若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)

傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

運算規則
模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

結合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交換律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（13）

二.異或運算法則(維基百科)

在數字邏輯中，邏輯算符互斥或閘（exclusive or）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型，符號爲XOR或EOR或⊕。與一般的邏輯或OR不同，當兩兩數值相同爲否，而數值不同時爲真。

兩個運算元（命題）：A與B的異或一般寫成A異或B，或者寫成、、等等。在C語言中，寫作A^B。