拉普拉斯變換理解

傅立葉變換能夠把任何連續週期信號由一組適當的正弦曲線逼近的表示出來 傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示爲不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。然後，和傅立葉變換對應的是反傅立葉變換。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後再可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。因此，傅立葉變換的物理意義可以理解爲，在時域表示的信號，通過傅立葉變換分解爲多個正弦信號的疊加，這樣每個正弦信號用幅度、頻率、相位就可以完全表徵了。傅里葉變換之後的信號通常被稱爲頻譜，頻譜又包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分佈及相位隨頻率的分佈。對一個信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應的傅里葉變換之後的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什麼作用呢？因爲有的信號主要在時域表現其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現其特性，如機械的振動，人類的語音等。若信號的特徵主要在頻域表示的話，則相應的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當我們採集到一段信號之後，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發現一些特徵，如果在時域無所發現的話，很自然地將信號轉換到頻域再看看能有什麼特徵。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。正因爲如此，在通常的信號與系統的分析過程中，傅立葉變換顯得尤爲重要。
那麼，既然傅立葉變換如此重要，爲什麼還有拉普拉斯變換及Z變換呢？原因就在傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的信號纔可能存在傅里葉變換。因此，拉普拉斯便將傅立葉的理論進行了推廣，發展出了拉普拉斯變換。
在自然界，指數信號ex是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之後，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信號乘上指數信號之後一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。所以說，傅立葉變換可以看成是拉普拉斯變換的一種特殊形式，即所乘的指數信號爲e0。也就是說拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，是一種更普遍的表達形式。所以在進行信號與系統的分析過程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結果，然後再得到傅里葉變換這種特殊的結果。這種由普遍到特殊的解決辦法，已經證明在連續信號與系統的分析中能夠帶來很大的方便。
但是自然界中的信號除了連續信號之外，還有大量的不連續信號，即離散信號。考慮到這個問題，Z變換便應運而生了，Z變換可以說就是針對離散信號與系統的拉普拉斯變換，所以Z變換的重要性也就不言而喻了，當然也就很容易理解Z變換和傅里葉變換以及拉普拉斯變換之間的關係了。Z變換中的Z平面與拉普拉斯中的S平面存在映射的關係，z=eTs。在Z變換中，單位圓上的結果即對應離散時間傅里葉變換的結果。
正是傅立葉變換、拉普拉斯變換及Z變換這些數學變換的產生與發展才推動了信號與系統的前進，才帶來了我們如今高效、便捷的信息時代。所以說，對信號進行數學變換有着重要的物理意義，我們必須認真學習這些數學變換，這樣才能更好的掌握信號與系統的學習，才能更好的認識我們的信息社會。