Prim算法
1.概覽
普里姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法，可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裏的所有頂點，且其所有邊的權值之和亦爲最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。因此，在某些場合，普里姆算法又被稱爲DJP算法、亞爾尼克算法或普里姆－亞爾尼克算法。
2.算法簡單描述
1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合爲V，邊集合爲E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x爲集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},爲空；
3).重複下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u爲集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
b.將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；
4).輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
下面對算法的圖例描述
| 圖例 | 說明 | 不可選 | 可選 | 已選（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
|
| 此爲原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。 | - | - | - |
| 頂點D被任意選爲起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
|
| 下一個頂點爲距離D或A最近的頂點。B距D爲9，距A爲7，E爲15，F爲6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
 | 算法繼續重複上面的步驟。距離A爲7的頂點B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
|
| 在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B爲8，E距B爲7，G距F爲11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。 | 無 | C, E, G | A, D, F, B |
|
| 這裏，可供選擇的頂點只有C和G。C距E爲5，G距E爲9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。 | 無 | C, G | A, D, F, B, E |
| 頂點G是唯一剩下的頂點，它距F爲11，距E爲9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。 | 無 | G | A, D, F, B, E, C |
| 現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即爲連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和爲39。 | 無 | 無 | A, D, F, B, E, C, G |
3.簡單證明prim算法
反證法：假設prim生成的不是最小生成樹
1).設prim生成的樹爲G0
2).假設存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 則在Gmin中存在<u,v>不屬於G0
3).將<u,v>加入G0中可得一個環，且<u,v>不是該環的最長邊(這是因爲<u,v>∈Gmin)
4).這與prim每次生成最短邊矛盾
5).故假設不成立，命題得證.
4.時間複雜度
這裏記頂點數v，邊數e
鄰接矩陣:O(v2) 鄰接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概覽
Kruskal算法是一種用來尋找最小生成樹的算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim算法和Boruvka算法等。三種算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。
2.算法簡單描述
1).記Graph中有v個頂點，e個邊
2).新建圖Graphnew，Graphnew中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊
3).將原圖Graph中所有e個邊按權值從小到大排序
4).循環：從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中所有的節點都在同一個連通分量中
if 這條邊連接的兩個節點於圖Graphnew中不在同一個連通分量中
添加這條邊到圖Graphnew中
圖例描述：
首先第一步，我們有一張圖Graph，有若干點和邊
將所有的邊的長度排序，用排序的結果作爲我們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，我們率先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖
在剩下的變中尋找。我們找到了CE。這裏邊的權重也是5
依次類推我們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面繼續選擇， BC或者EF儘管現在長度爲8的邊是最小的未選擇的邊。但是現在他們已經連通了（對於BC可以通過CE,EB來連接，類似的EF可以通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不需要選擇他們。類似的BD也已經連通了（這裏上圖的連通線用紅色表示了）。
3.簡單證明Kruskal算法
對圖的頂點數n做歸納，證明Kruskal算法對任意n階圖適用。
歸納基礎：
n=1，顯然能夠找到最小生成樹。
歸納過程：
假設Kruskal算法對n≤k階圖適用，那麼，在k+1階圖G中，我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合併操作，即把u與v合爲一個點v'，把原來接在u和v的邊都接到v'上去，這樣就能夠得到一個k階圖G'(u,v的合併是k+1少一條邊)，G'最小生成樹T'可以用Kruskal算法得到。
我們證明T'+{<u,v>}是G的最小生成樹。
用反證法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成樹，最小生成樹是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。顯然T應該包含<u,v>，否則，可以用<u,v>加入到T中，形成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，形成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>}，是G'的生成樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，產生了矛盾。於是假設不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成樹，Kruskal算法對k+1階圖也適用。
由數學歸納法，Kruskal算法得證。
轉自：https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html