我們經常會說一個算法快不快，這個可以由實驗得出，也可以通過分析複雜度得出。實驗需要大量不同的輸入才更全面準確，否則片面地看某個輸入下的表現，是比較偏頗的。分析複雜度（通常分析最壞，因爲平均涉及輸入的概率分佈，依靠假設或者實驗和經驗）有時候並不是一個簡單的事，簡單的情況是遍歷 for(int i = 0; i != n; i++) 的這種情況，顯然是O（n）的複雜度。但是一些複雜的情況就比較難辦了，舉例來說：
a. 棧操作： 除了PUSH,POP，添加一個操作叫MULTIPOP。
MULTIPOP(S,k)
while not EMPTY(S) && k != 0
do POP(S)
k <- k-1假設棧的大小爲s，那麼MULTIPOP的複雜度爲min（s,k）。
那麼現在有一個空棧，進行n次操作，三種操作各種可重排列都有可能。問這n次操作的複雜度是多少？
b. 二進制計數器： 一個k位的二進制數A，不斷加1。這個二進制數用k位數組表示，每一位爲0或者1。 加1的操作叫INCREMENT。這個操作leetcode上也正好有類似的題目Plus One，它是十進制數。
INCREMENT(A)
i <- 0
while i < length[A] && A[i] == 1
do A[i] <- 0
i <- i+1
if i < length[A]
then A[i] <- 1 那麼，現在從0開始加到n。問複雜度是多少？
初看上去，第一個問題MULTIPOP最差是當有n-1個元素時，之前PUSH了n-1次，需要O（n），也就是一次操作最差O（n），n次操作最差O（n*n）。第二個類似地也是O（n*n）。但是這個複雜度估計得太寬鬆了，要求更精確一點的複雜度就不是一眼看出的了。這個時候，引入了平攤分析。
平攤分析被引入實際上是爲了解決某操作被多次調用，不同情況下各次調用複雜度不同的問題。該操作如果分別考慮不同情況的各次來計算，過於複雜，而作爲一個整體的時候，考慮該操作各情況調用的平攤複雜度，計算起來會容易不少（或者說更容易描述）。用書上的話說，“平攤分析可以用來證明在一系列的操作中，通過對所有操作求平均之後，即使對其中單一的操作具有較大的代價，平均代價還是很小的。平攤分析與平均情況分析的不同情況在於它不牽涉到概率；平攤分析保證在最壞的情況下，每個操作具有平均性能。”後面一句就是表示，單次操作平攤代價累積起來，大於等於總的最壞情況，當然，從複雜度上儘可能地逼近最壞情況。
介紹了三種分析方法：1.聚集分析；2，記賬方法；3勢能方法。
1.聚集分析
所謂聚集分析，實際上就是從整體考慮，考慮多次操作總的複雜度。
比如問題a，對於一個空棧，n次操作的複雜度爲O（n）。因爲對象被壓入後最多被彈出一次，則調用POP的次數（包括了MULTIPOP裏的POP）最多等於PUSH的次數，最多爲n。通常我們算總的複雜度其實就到此爲止了，一定要算出平攤複雜度的話就除以n,三個棧操作的平攤複雜度都是O（1）。
問題b中，對A的操作，每次調用，A[0]都會翻轉，A[1]每兩次翻轉一次，A[2]每4次翻轉一次...如果進行n次操作，那麼他們分別有n,n/2,n/4...（下取整）次翻轉。等比數列，加起來爲小於2n次。n次總複雜度爲O（n），單次的平攤代價爲O（1）。
2.記賬方法
書上原話是“我們對不同的操作賦予不同的費用，某些操作的費用比它們的實際代價或多或少。我們對一個操作的收費的數量稱爲平攤代價。”。其實，操作起來，就相當於我先假設單次某操作的代價，假如我估計某費時的瓶頸操作平攤複雜度爲O（1），那我完全可以讓單次操作的代價爲某一個常數k（通常要略大於這個操作的實際代價），多的存下來，可以把存款放出去給其他操作。那麼，因爲有的操作會存，有的操作會花，不同操作有不同的平攤代價，聚集分析中平攤代價是一樣的。要保持分析中代價一直是上界，存款不允許爲負。
對問題a，令PUSH代價爲2。相當於1用來支付PUSH,同時放一個在上面，POP的時候拿走。那麼POP和MULTIPOP都爲O（0）。總的爲O（n）。
對問題b，把某一位設爲1代價爲2，存1用來支付把這一位設爲0，那麼設爲0代價爲0。總的爲O（n）。
3.勢能方法
勢能方法英文叫potential method，勢能還是翻譯得很好的，因爲它是與數據結構相關而不是與動作相關。比如拿棧來說，棧裏有多少元素我們就認爲它有多少勢能，這是一種可能的做法，這也正是這個結構的potential。平攤代價就由實際代價加上增加勢能變化量。CP（i） = C(i) + S(i) - S(i-1)。n個操作就是ΣCP（i） = ΣC(i) + S(n) - S(0)。要保持上界，就得讓S（n）-S（0）永遠非負。通常，讓S（0）等於0，那麼接下來S（n）>= 0就好。我覺得勢也是一種存款。因而平攤操作重點在於考慮勢的增加而不是減少（勢差爲負可以用來減實際代價，使平攤代價變少，如下ab問題）
對問題a，把勢函數定義爲棧裏元素個數。那麼PUSH平攤就爲1+1=2，POP1-1= 0，MULTIPOP同POP一樣也爲0.所以O（n）。
對問題b，把勢函數定義爲計數器中1的個數。第i次操作復位t(i)，置位1，C（i）=t(i)+1，勢差爲1-t(i)，所以平攤代價爲2.所以爲O（n）。
其實，注意如果考慮S（n）-S（0）的複雜度，那麼就可以不要求S（n）-S（0）。因爲ΣCP（i） = ΣC(i) + S(n) - S(0)，現在知道了ΣCP（i）的複雜度，又知道 S(n) - S(0)，顯然可以知道ΣC(i) 的複雜度。
最後，書裏用動態表的操作來爲一個例子再闡述了分析過程。這裏我用KMP爲例來闡述。論KMP-COMPUTE-PREFIX過程。
KMP-COMPUTE-PREFIX(P)
m <- length[P]
π[1] <- 0
k <- 0 // just like q above, number of char matched
for q <- 1 to n // like i above, and actually it is state, so its name is q
while k>0 && P[k+1] != S[q] // P range from 1 to n, not 0 to n-1
do k <- π[k]
if P[k+1] == S[q] then k <- k+1
π[q] <- k
return π 首先，用記賬法。對π[q]賦值這個操作我們給它記2，1用於自己的開銷，存1到q位置上。if P[k+1] == S[q] then k <- k+1 這個開銷複雜度是等同於π[q] <- k，自然可以用π[q]賦值這個操作代表了。問題在於while循環，這個循環是一個讓k退步的一個操作，它不斷地取π[q]，這個取的開銷可以用放在上面的存款支付了.由於π[q]總是指向一個有存款的地方（一開始我們在0,1兩處各放上1，這是O（1）的）。所以總是有存款可花的，保證了上界。也就是while循環平攤爲了0.總開銷爲O（n）。
也可以用勢能法。也是書上的方法（在KMP一節）。k的勢就是當前狀態k。顯然開始爲0，以後總大於等於0.顯然勢最多加1，因爲狀態最多前進一步（也就是if語句）。後退（也就是while循環）是可以很多的，這些代價被負的勢差所抵消。while和if都是在操作勢，後面賦值的開銷是O（1），勢的平攤開銷（至多）是O（1）.所以最後爲O（n）。
對KMP-MATCH(S,P) 可以用類似的方法，不再贅述。
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