稀疏矩陣

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在矩陣中，若數值爲0的元素數目遠遠多於非0元素的數目時，則稱該矩陣爲稀疏矩陣；與之相反，若非0元素數目佔大多數時，則稱該矩陣爲稠密矩陣。定義非零元素的總數比上矩陣所有元素的總數爲矩陣的稠密度。

中文名

稀疏矩陣

外文名

sparse matrix

類    型

矩陣

應    用

數值分析

目錄

1. 1 定義
2. 2 優點
3. 3 存儲空間
4. 4 創建轉換

1. 5 運算
2. ▪ 原理簡介
3. ▪ 例一
4. ▪ 例二
5. ▪ 特例

1. ▪ 例三
2. ▪ 方程組
3. ▪ 例四
4. ▪ 例五
5. ▪ 例六

定義

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矩陣中非零元素的個數遠遠小於矩陣元素的總數，並且非零元素的分佈沒有規律，通常認爲矩陣中非零元素的總數比上矩陣所有元素總數的值小於等於0.05時，則稱該矩陣爲稀疏矩陣(sparse matrix)，該比值稱爲這個矩陣的稠密度；與之相區別的是，如果非零元素的分佈存在規律（如上三角矩陣、下三角矩陣、對角矩陣），則稱該矩陣爲特殊矩陣。

優點

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稀疏矩陣的計算速度更快,因爲M AT L A B只對非零元素進行操作,這是稀疏矩陣的一個突出的優點.

假設矩陣A,B中的矩陣一樣.計算2*A需要一百萬次的浮點運算,而計算2*B只需要2 0 0 0次浮點運算.

因爲M AT L A B不能自動創建稀疏矩陣,所以要用特殊的命令來得到稀疏矩陣.

前面章節中的算術和邏輯運算都適用於稀疏矩陣.

對於一個用二維數組存儲的稀疏矩陣Amn,如果假設存儲每個數組元素需要L個字節,那麼存儲整個矩陣需要m*n*L個字節.但是,這些存儲空間的大部分存放的是0元素,從而造成大量的空間浪費.爲了節省存儲空間，可以只存儲其中的非0元素.

對於矩陣Amn的每個元素aij,知道其行號i和列號j就可以確定其位置.因此對於稀疏矩陣可以用一個結點來存儲一個非0元素.該結點可以定義如下:

[i,j,aij]

該結點由3個域組成,i:行號,j:列號;aij元素值.這樣的結點被稱爲三元組結點.矩陣的每一個元素Qij,由一個三元組結點(i,j,aij)唯一確定.

例如稀疏矩陣A:

50 0 0 0

10 0 20 0

0 0 0 0

-30 0 -60 5

其對應的三元組表爲：

1 1 50

2 1 10

2 3 20

4 1 -30

4 3 -60

4 4 5

存儲空間

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高斯

一個稀疏矩陣中有許多元素等於零,這便於矩陣的計算和保存.如果Matlab把一個矩陣當作稀疏矩陣,那麼只需在m×3的矩陣中存儲m個非零項.第1列是行下標,第2列是列下標,第3列是非零元素值,不必保存零元素.如果存儲一個浮點數要8個字節,存儲每個下標要4個字節,那麼整個矩陣在內存中存儲需要1 6×m個字節.

A = e y e ( 1 0 0 0 ) ;

得到一個1 0 0 0×1 0 0 0的單位矩陣,存儲它需要8 MB空間.如果使用命令:

B = s p e y e ( 1 0 0 0 ) ;

用一個1 0 0 0×3的矩陣來代表,每行包含有一個行下標,列下標和元素本身.只需2 4 K B的空間就可以存儲1 0 0 0×1 0 0 0的單位矩陣,它只需要滿單位矩陣的0 . 3 %存儲空間.對於許多的廣義矩陣也可這樣來作.

創建轉換

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在M AT L A B中,用命令s p a r s e來創建一個稀疏矩陣.

命令集8 7創建稀疏矩陣

s p a r s e ( A )由非零元素和下標建立稀疏矩陣A.如果A已是一個稀疏矩陣,則返回A本身.

s p a r s e ( m , n )生成一個m×n的所有元素都是0的稀疏矩陣.

s p a r s e ( u , v , a )生成一個由長度相同的向量u,v和a定義的稀疏矩陣.其中u和v是整數向量,a是一個實數或者複數向量.(ui, vi)對應值ai,如果a中有零元素,則將這個元素排除在外.

稀疏矩陣的大小爲m a x (u)×m a x (v).

s p a r s e ( u , v , a , m , n )生成一個m×n的稀疏矩陣,(ui, vi)對應值ai.向量u,v和a必須長度相同.

s p a r s e ( u , v , a , m , n ,生成一個m×n的含有n z m a x個非零元素的稀疏矩陣.(ui,n z m a x )vi)對應值ai.n z m a x的值必須大於或者等於向量u和v的長度.

f i n d ( x )返回向量x中非零元素的下標.如果x=X是一

稀疏矩陣

個矩陣,那麼X的向量就作爲一個長向量來考慮.

[ u , v ] = f i n d ( A )返回矩陣A中非零元素的下標.

[ u , v , s ] = f i n d ( A )返回矩陣A中非零元素的下標.用向量s中元素的值及u和v中相應的下標,實際上就是向量u,v和s作爲命令s p a r s e的參數.

s p c o n v e r t ( D )將一個有三列的矩陣轉換成一個稀疏矩陣.D中的第1列作爲行的下標,第2列作爲列的下標,最後一列作爲元素值.而且可以使用命令f u l l將稀疏矩陣轉換成一個滿矩陣.

命令集8 8轉換成滿矩陣

f u l l ( S )將稀疏矩陣S轉換成一個滿矩陣.

a) 創建一個5×5的單位矩陣:

A = e y e ( 5 )

將矩陣A轉換成稀疏矩陣B:

(b) 假設M AT L A B中給出如下的向量:

這樣就有了行向量,但是也可使用列向量.運行命令S m a t r i x = s p a r s e ( i n d 1 , i n d 2 , n u m b e r ),

結果爲:

其中有去掉了兩個零元素.將這個矩陣轉換成滿矩陣,輸入:

F u l l m a t r i x = f u l l ( S m a t r i x )

得到的結果爲:

注意,稀疏矩陣和得到的滿矩陣的大小是分別是由i n d 1和i n d 2中最大元素值確定的,即

使相應的值是零,並且在列出的稀疏矩陣中去掉這個值.

輸入命令w h o s可得到:

可以看出雖然兩個矩陣的大小相同,但是其中稀疏矩陣需要的存儲空間更小些.

(c) 在處理稀疏矩陣時f i n d命令很有用.命令對於稀疏矩陣或者滿矩陣都返回相同的結果.

返回得到的三個向量直接用來重新創建一個稀疏矩陣.令S m a t r i x定義在( b )中,運行命令:

得到的結果爲:

用下面命令得到的矩陣和( b )中得到的矩陣是不一樣的:

運算

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原理簡介

M AT L A B中對滿矩陣的運算和函數同樣可用在稀疏矩陣中.結果是稀疏矩陣還是滿矩陣,

這取決於運算符或者函數及下列的操作數:

稀疏矩陣的壓縮存儲

當函數用一個矩陣作爲輸入參數,輸出參數爲一個標量或者一個給定大小的向量時,輸出參數的格式總是返回一個滿陣形式,如命令s i z e.

當函數用一個標量或者一個向量作爲輸入參數,輸出參數爲一個矩陣時,輸出參數的格式也總是返回一個滿矩陣,如命令e y e.還有一些特殊的命令可以得到稀疏矩陣,如命令s p e y e.

對於單參數的其他函數來說,通常返回的結果和參數的形式是一樣的,如d i a g.

對於雙參數的運算或者函數來說,如果兩個參數的形式一樣,那麼也返回同樣形式的結果.在兩個參數形式不一樣的情況下,除非運算的需要,均以滿矩陣的形式給出結果.

兩個矩陣的組和[A B],如果A或B中至少有一個是滿矩陣,則得到的結果就是滿矩陣.

表達式右邊的冒號是要求一個參數的運算符,遵守這些運算規則.

表達式左邊的冒號不改變矩陣的形式.

例一

假設有:

這是一個5×5的單位滿矩陣和相應的稀疏矩陣.

(a) C = 5*B,結果爲:

這是一個稀疏矩陣.

(b) D = A + B,給出的結果爲:

這是一個滿矩陣.

(c) x = B \ h,結果爲:

這是一個滿向量.

有許多命令可以對非零元素進行操作.

命令集8 9矩陣的非零元素

n n z ( A )求矩陣A中非零元素的個數.它既可求滿矩陣也可求稀疏矩陣.

s p y ( A )畫出稀疏矩陣A中非零元素的分佈.也可用在滿矩陣中,在

這種情況下,只給出非零元素的分佈.

s p y ( A , c s t r , s i z e )用指定的顏色c s t r(見表1 3 - 1 )和在s i z e規定的範圍內畫出稀疏

矩陣A中非零元素的分佈.

n o n z e r o s ( A )按照列的順序找出矩陣A中非零的元素.

s p o n e s ( A )把矩陣A中的非零元素全換爲1.

s p a l l o c ( m , n ,產生一個m×n階只有n z m a x個非零元素的稀疏矩陣.這樣可以

n z m a x )有效地減少存儲空間和提高運算速度.

n z m a x ( A )給出爲矩陣A中非零元素分配的內存數.不一定和n n z ( A )得

到的數相同;參見s p a r s e或者s p a l l o c.

i s s p a r s e ( A )如果矩陣A是稀疏矩陣,則返回1;否則返回0.

s p f u n ( f c n , A )用A中所有非零元素對函數f c n求值,如果函數不是對稀疏矩

陣定義的,同樣也可以求值.

s p r a n k( A )求稀疏矩陣A的結構秩.對於所有的矩陣來說,都有

s p r a n k ( A）≥r a n k ( A ).

例二

用下面的命令定義稀疏矩陣:

創建一個大矩陣:

稀疏矩陣

Big=kron(A, A)

這個矩陣B i g是什麼樣子呢?

K r o n e c k e r張量積給出一個大矩陣,它的元素是矩陣A的元素之間可能的乘積.因爲參量都是稀疏矩陣,所以得到的矩陣也是一個稀疏矩陣.可以用命令 w h o s和i s s p a r s e來確認一下.

查看矩陣B i g的結構圖,可輸入s p y ( B i g ),結構圖如右圖所示. 從圖中可以看出B i g是一個塊雙對角矩陣.

特例

MATLAB中有四個基本稀疏矩陣,它們是單位矩陣,隨機矩陣,對稱隨機矩陣和對角矩陣.

命令集9 0單位稀疏矩陣

s p e y e ( n )生成n×n的單位稀疏矩陣.

s p e y e ( m , n )生成m×n的單位稀疏矩陣.

命令speye(A) 得到的結果和s p a r s e ( e y e ( A ) )是一樣的,但是沒有涉及到滿陣的存儲.

命令集9 1隨機稀疏矩陣

s p r a n d ( A )生成與A有相同結構的隨機稀疏矩陣,且元素服從均勻分佈.

s p r a n d ( m , n , d e n s )生成一個m×n的服從均勻分佈的隨機稀疏矩陣,有d e n s×m×

n個非零元素,0≤d e n s≤1.參數d e n s是非零元素的分佈密度.

s p r a n d ( m , n , d e n s ,生成一個近似的條件數爲1 /rc,大小爲m×n的隨機稀疏矩

r c )陣.如果rc=rc是一個長度爲l≤l ( m i n (m, n) )的向量,那麼

矩陣將rci作爲它l個奇異值的第一個,其他的奇異值爲0.

s p r a n d n ( A )生成與A有相同結構的隨機稀疏矩陣,且元素服從正態分佈.

s p r a n d n ( m , n , d e n s ,生成一個m×n的服從正態分佈的隨機稀疏矩陣,和sprand

r c )一樣.

s p r a n d s y m ( S )生成一個隨機對稱稀疏矩陣.它的下三角及主對角線部分與S的結構相同,矩陣元素服從正態分佈.

s p r a n d s y m ( n , d e n s )生成一個m×n的隨機對稱稀疏矩陣.矩陣元素服從正態分佈,分佈密度爲d e n s.

s p r a n d s y m ( n , d e n s ,生成一個近似條件數爲1 /rc的隨機對稱稀疏矩陣.元素以0r c )對稱分佈,但不是正態分佈.如果rc=rc是一個向量,則矩陣有特徵值rci.也就是說,如果rc是一個正向量,則矩陣是正定矩陣.

s p r a n d s y m ( n , d e n s ,生成一個正定矩陣.如果k= 1,則矩陣是由一正定對稱矩r c , k )陣經隨機J a c o b i旋轉得到的,其條件數正好等於1 /rc;如果k= 2,則矩陣爲外積的換位和,其條件數近似等於1 /rc.

s p r a n d s y m ( S , d e n s ,生成一個與矩陣S結構相同的稀疏矩陣,近似條件數爲1 /rc.

r c , 3 )參數d e n s被忽略,但是這個參數在這個位置以便函數能確認最後兩個參數的正確與否.

例三

(a) 假設有矩陣A:

輸入R a n d o m = s p r a n d n ( A ),可得到隨機稀疏矩陣:

矩陣中隨機數的位置和矩陣A中非零元素的位置相同.

(b) 對於( a )中的矩陣A,輸入:

B = s p r a n d s y m ( A )

結果爲:

這是一個用矩陣A的下三角及主對角線部分創建的對稱矩陣,在非零元素的位置用隨機數作爲元素值.

用命令s p d i a g s可以取出對角線元素,並創建帶狀對角矩陣.假設矩陣A的大小爲m×n,

稀疏矩陣

在p個對角線上有非零元素.B的大小爲m i n (m×n)×p,它的列是矩陣A的對角線.向量d的長度爲p,其整型分量給定了A的對角元:

di0 主對角線上的對角線

命令集9 2對角稀疏矩陣

[ B , d ] = s p d i a g s ( A )求出A中所有的對角元,對角元保存在矩陣B中,它們的下標保存在向量d中.

s p d i a g s ( A , d )生成一個矩陣,這個矩陣包含有矩陣A中向量d規定的對角元.

s p d i a g s ( B , d , A )生成矩陣A,用矩陣B中的列替換d定義的對角元.

A = s p d i a g s ( B , d , m , n )用保存在由d定義的B中的對角元創建稀疏矩陣A.

例11 . 4給出瞭如何使用s p d i a g s命令來解普通微分方程組.

方程組

稀疏矩陣

在許多實際應用中要保留稀疏矩陣的結構,但是在計算過程中的中間結果會減弱它的稀疏性,如L U分解.這就會導致增加浮點運算次數和存儲空間.爲了避免這種情況發生,在第稀疏矩陣1 2 9

M AT L A B中用命令對矩陣進行重新安排.這些命令都列在下面的命令集9 3中.通過h e l p命令

可以得到每個命令更多的幫助信息,也可見h e l p d e s k.

命令集9 3矩陣變換

c o l m m d ( A )返回一個變換向量,使得矩陣A列的秩爲最小.

s y m m m d ( A )返回使對稱矩陣秩爲最小的變換.

s y m r c m ( A )矩陣A的C u t h i l l - M c K e e逆變換.矩陣A的非零元素在主對角線附近.

c o l p e r m ( A )返回一個矩陣A的列變換的向量.列按非零元素升序排列.有時這是L U因式分解前有用的變換:lu(A(:, j)).如果A是一個對稱矩陣,對行和列進行排序,這有利於C h o l e s k y分解:chol(A(j, j)).

r a n d p e r m ( n )給出正數1,2,. . .,n的隨機排列,可以用來創建隨機變換矩陣.

d m p e r m ( A )對矩陣A進行D u l m a g e - M e n d e l s o h n分解,輸入help dmperm可得更多信息.

例四

創建一個秩爲4的變換矩陣,可輸入:

一旦運行p e r m = r a n d p e r m ( 4 ),就會得到:

給出的變換矩陣爲:

如果矩陣A爲:

輸入命令:

運行結果爲:

有兩個不完全因式分解命令,它們是用來在解大線性方程組前進行預處理的.用h e l p d e s k命令可得更多信息.命令集9 4不完全因式分解c h o l i n c ( A , o p t )進行不完全C h o l e s k y分解,變量o p t取下列值之一:

d r o p t o l指定不完全分解的舍入誤差,0給出完全分解.

m i c h o l如果m i c h o l = 1,則從對角線上抽取出被去掉的元素.

r d i a g用s q r t ( d r o p t o l*n o r m ( X ( : , j ) ) )代替上三角分

解因子中的零元素,j爲零元素所在的列.

[ L , U , P ]=返回矩陣X的不完全分解得到的三個矩陣L,U和P,變量o p t取

l u i n c ( X , o p t )下列值之一:

d r o p t o l指定分解的舍入誤差.

m i l u改變分解以便從上三角角分解因子中抽取被去掉的列元素.

u d i a g用d r o p t o l值代替上三角角分解因子中的對角線上的零元素.

t h r e s h中心極限.

解稀疏線性方程組既可用左除運算符解,也可用一些特殊命令來解.

命令集9 5稀疏矩陣和線性方程組

s p p a r m s ( k e y s t r , o p )設置稀疏矩陣算法的參數,用help spparms可得詳細信息.

s p a u g m e n t ( A , c )根據[ c*l A; A' 0 ]創建稀疏矩陣,這是二次線性方程組的最

小二乘問題.參見7 . 7節.

s y m b f a c t ( A )給出稀疏矩陣的C h o l e s k y和L U因式分解的符號分解因子.

用help symbfact可得詳細信息.

稀疏矩陣的範數計算和普通滿矩陣的範數計算有一個重要的區別.稀疏矩陣的歐幾里德範數不能直接求得.如果稀疏矩陣是一個小矩陣,則用n o r m ( f u l l ( A ) )來計算它的範數;但是對於大矩陣來說,這樣計算是不可能的.然而M AT L A B可以計算出歐幾里德範數的近似值,在計算條件數時也是一樣.

命令集9 6稀疏矩陣的近似歐幾里德範數和條件數

n o r m e s t ( A )計算A的近似歐幾里德範數,相對誤差爲1 0-6.

n o r m e s t ( A , t o l )計算A的近似歐幾里德範數,設置相對誤差t o l,而不用缺省時的1 0-6.

[ n r m , n i t ] =計算近似n r m範數,還給出計算範數迭代的次數n i t.

n o r m e s t ( A )

c o n d e s t ( A )求矩陣A條件數的1 -範數中的下界估計值.

[ c , v ]=求矩陣A的1 -範數中條件數的下界估計值c和向量v,使得

c o n d e s t ( A , t r )| |Av| | = ( | |A| | | |v| | ) / c.如果給定t r,則給出計算的過程.t r= 1,

給出每步過程;t r=-1,給出商c / r c o n d ( A ).

例五

假設給出:

用n o r m A p p r o x = n o r m e s t ( S p r s )計算出:

用t h e N o r m = n o r m ( f u l l ( S p r s ) )得:

爲了找到它們之間的差別,計算d i f f e r e n c e = t h e N o r m - n o r m A p p r o x,得:

在許多應用中,n o r m e s t計算得到的近似值是一個很好的近似歐幾里德範數,它的計算步數要比n o r m要少得多;可參見7 . 6節.

用e t r e e命令來找到稀疏對稱矩陣的消元樹,用向量f來描述消元樹,還可用e t r e e p l o t命令畫出來.元素fi是矩陣的上三角C h o l e s k y分解因子中i行上第1非零元素的列下標.如果有非零元素,則fi= 0.消元樹可以這樣來建立:

節點i是fi的孩子,或者如果fi= 0,則節點i是樹的根節點.

命令集9 7矩陣的消元樹

e t r e e ( A )求A的消元樹向量f,這個命令有可選參數;輸入h e l p

e t r e e獲取幫助.

e t r e e p l o t ( A )畫出向量f定義的消元樹圖形.

t r e e p l o t ( p , c , d )畫出指針向量p的樹圖形,參數c和d分別指定節點的顏色和分支數.e t r e e p l o t可以調用這個命令.

t r e e l a y o u t顯示樹的結構,t r e e p l o t可以調用這個命令.

例六

假設有對稱稀疏矩陣B:

運行命令b t r e e = e t r e e ( B ),結果爲:

開始的數字2不難理解,它是矩陣的第1列上第1個非零元素的行數,它決定了在C h o l e s k y分解因子的第1行第2列處有一個非零元素.當縮減第1列的元素時就得到第2列的數字5.B在縮減後,在( 5 , 2 )位置的元素是非零的,這樣消元樹向量中第2個元素的值爲5.

s p y ( c h o l ( B ) )給出了C h o l e s k y分解因子的結構圖,如圖9 - 2所示:

圖9-2 Cholesky分解結構圖

圖9-3 矩陣B的消元樹

這個向量消元樹可以這樣來建立:上三角中只有一行有非零元素,節點8,因此這就是樹

稀疏矩陣

唯一的根.節點1是節點2的孩子,節點2和3是節點5的孩子,而節點5是節點6的孩子.節點4和6是節點7的孩子,而節點7又是節點8的孩子,即根的孩子.

命令e t r e e p l o t ( B )給出了樹的結構圖,如圖9 - 3所示.

消元樹的形狀取決於列和行序,它可以用來分析消元過程.

用g p l o t命令可以畫出座標和矩陣元素間的聯繫圖形.必須在n×2的矩陣中給出n個座標,

矩陣的每一行作爲一個點.這樣就創建出點點之間連接的n×n矩陣,如果點4連接到點8,則(4, 8)的值爲1.由於是一個大矩陣,而且非零元素較少,所以它應該被建成稀疏矩陣.

這個圖可以說明網絡問題,如傳遞問題.它還包含有線性方程組中未知量之間的相關信息.

命令集9 8網絡圖形

g p l o t ( A , K )如果矩陣A的a(i, j)不爲0,則將點ki連接到點kj.K是一個n×

2的座標矩陣,A是一個n×n的關聯矩陣.

g p l o t ( A , K , s t r )用字符串s t r給定的顏色和線型畫出的同上圖形.字符串s t r的

取值參見表1 3 - 1.

[ X , A ] = u n m e s h ( E )求網格邊界矩陣E的L a p l a c e矩陣A和網格點的座標矩陣X.

例七

假設有下面的座標矩陣K和關聯矩陣A:

矩陣A在稀疏化後,用命令g p l o t ( A , K )畫出圖9 - 4,給出了點(0, 1)和點(4, 1)之間所有可能的路徑.