動態規劃與排列組合二項式的關係

前言：最近做各大廠的筆試題，發現動態規劃和排列組合的題挺多的，於是認真研究了一下，寫在這裏備忘。

1.先拋出數學上的公式

當a=b=1的時候，該二項式變成了，這就是二進制下的遞推關係了。

雖然二項式有很多特性，但是在計算機中我們只關注兩個特徵：即遞推關係和邊界條件，對應着兩個公式：

也就是動態規劃的狀態方程和初始狀態，如上圖所示的兩個關係，這樣看着很抽象，那麼先看如下圖的推導：

通過二項式與楊輝三角型的對比可以出它們是一一對應的，由此也就得出了這個重要的遞推關係：

它表示任意時刻 ( 第k個時刻，k是介於[0-n]之間任意的值) 的中間狀態，都是可以由上以時刻的值遞推出來的，這是二項式與楊輝三角型直觀對應得出的公式，當然也可以通過數學證明(太麻煩省略)。

         因爲計算機的變量在某一個時刻只能存一個值，這個值可以由之前的變量推出來，因此建立了依賴關係，用遞推關係來求解問題就可以保證在多項式時間複雜度內完成，比暴力搜索要快。同時爲了避免重複計算先前的結果，因此使用一個二維表(矩陣)來緩存結果。那麼按照楊輝三角型的特點，相鄰兩個子結果，也就是矩陣的元素(表示子結果的狀態)，是按照上述關係依賴的。

動態規劃中通常是從結果向開始逆向遞推，結束條件就是另外一個公式：。

因此排列組合公式：就可以用動態規劃的方式推出來。

所以動態規劃三個主要步驟：1.抽象出當前的狀態；2.確定遞推關係(也就是狀態方程)；3.確定初始條件(邊界)。

1.當前狀態即：i表示什麼，j表示什麼，dp[i][j]表示什麼

2.遞推關係即：，這是一個模版公式，對於不同的題目/場景會不同，核心思想是找到如果有上一個結果推出當前的結果，以楊輝三角形爲例，當前值應該其上一行的當前列k 和當前列的左邊一列k-1之和。對於01揹包問題，當前物品爲i，如果不選它，則是m[i-1][j]，如果選了它則是m[i-1][j-w[i]]+vi，選和不選的兩個值則是有上一個狀態的兩個相鄰結果推出來的。01揹包問題見下圖。

3.初始條件即：，初始時的狀態，通常要手動賦值，也就是矩陣dp[n+1][m+1]的第一行和第一列。

代碼：

同樣地，對於某筆試題： 小Q歌單、合唱團(自行百度題目)， 都可以按照的思想快速確立狀態方程。

小Q歌單：就是以楊輝三角形來存所有的組合項：

合唱團：從n個元素中選擇k個，使這k個元素的乘積最大
     有 n 個學生站成一排，每個學生有一個能力值，牛牛想從這 n 個學生中按照順序選取 k 名學生，
     要求相鄰兩個學生的位置編號的差不超過 d，使得這 k 個學生的能力值的乘積最大，求最大的乘積？

先這樣把，後面再整理。

突然覺得數學和計算機息息相關啊，後悔當初數學沒學好。