擴展歐幾里得的第一次...... 數字

 

三．數字

題目描述

對於正整數n，定義s(n)爲n在十進制表示時各位數字的和，d(n)爲對n一直做s(n)直到n變成一位數。例如：s(58)=5+8=13，s(13)=4，d(58)=d(13)=d(4)=4。

定義正整數x是優美的，當且僅當存在至少一個正整數y使得y*d(y)=x。

Your Task

請你求出，區間[A,B]中有多少個數是優美的。

輸入文件

第一行T表示數據組數

對於每組數據，一行中A B

輸出文件

對於每組數據，在一行中輸出[A,B]中優美的數的個數

樣例輸入

2

47 58

123456789 9876543210

樣例輸出

4

2618024258

數據約定

20%：1《=A<=B<=10^8

100%：T<=20,1<=A<=B<=10^10

 

 

 

首先，根據RP守恆定理，今天早上沒打開CF，所以此刻RP一定爆棚，就隨便編了個d(n)的表達式，沒想到居然對了......

(關於RP守恆定理 http://baike.baidu.com/view/88936.htm)

 

d(n)=(n-1)mod 9+1.

 有人問了，爲什麼不是 n mod 9 呢，當n=9時就不成立啊......

 

然後，我們設 y=9*k+b (b<=9) 爲什麼b=9是可以的呢？ 秋哥小白般地就問了，於是我說，後面會講.......

 

x=d(y)*y=((y-1) mod 9+1)*y=((b+1)-1)*(9*k+b)=9*b*k+b^2.

 

 

爲什麼b可以等於9，當y=9 時 ， （0+9）mod 9+1=1 才成立 若b不能取9 則 得出的答案是（9+0）mod 9+1=1 不成立

 

 

 

 

得到b從1 到 9 的 方程，然後我比較懶，不想寫了，自己推，通式就是 X=9*B*K+B^2  b從1 到 9 遞增

 

 

然後發現有一些互相包含的X，排除掉（秋哥說要寫“排”字，不然別人WA了，就過來說：“不告訴你”）（大概是：b=1和8  b=3 和 6）

 

又發現有一些有交集的X，可以加上A和B，減掉C

用擴展歐幾里得可以推出  ,聯立兩個方程，解一個不定方程，q=變化數t*x原本的係數，w=最小的x值，滿足x mod q=w 的所有x減去即可。

（C是A與B的交集）（大概是：b=2和7  b=4 和 5）

 

最後又發現有的既不包含也不相交，就直接MOD掉......即可 （大概是：b=3和9）

 

 

至此，證畢（霸氣護體）

 

貼貼代碼：（大家沒看上面的話就無視掉吧......）

program number; const num:array[1..9]of longint=(27,81,9,18,63,126,36,45,180); ber:array[1..9]of longint=(18,81,8,14,14,14,20,20,20); var i,j,n,o:longint; a,b,ans:int64; begin assign(input,'number.in'); reset(input); assign(output,'number.out'); rewrite(output); read(n); for o:=1 to n do begin read(a,b); ans:=0; for i:=1 to 9 do if (i=6)or(i=9) then ans:=ans-((b+ber[i])div num[i] - (a-1+ber[i]) div num[i]) else ans:=ans+((b+ber[i])div num[i] - (a-1+ber[i]) div num[i]); writeln(ans); end; close(input); close(output); end.  

 

 

秋哥的小羅附體：

#include <stdio.h> #include <memory.h> long long count(long long a, long long b, int i, int j) { a -= j, b -= j; return (b + i) / i - (a - 1 + i) / i; } int main() { FILE *fin = fopen("number.in" , "r"); FILE *fout = fopen("number.out", "w"); int T; long long ans, a, b; fscanf(fin, "%d", &T); for (; T; --T) { fscanf(fin, "%I64d%I64d", &a, &b); ans = 0; //for (i = 1; i <= 9; ++i) // ans += count(a, b, 9 * i, i * i); ans += count(a, b, 9 * 1, 1 * 1); ans += count(a, b, 9 * 2, 2 * 2); ans += count(a, b, 9 * 3, 3 * 3); ans += count(a, b, 9 * 4, 4 * 4); ans += count(a, b, 9 * 5, 5 * 5); ans += count(a, b, 9 * 7, 7 * 7); ans += count(a, b, 9 * 9, 9 * 9); ans -= count(a, b, 9 * 14, 112); ans -= count(a, b, 9 * 20, 160); fprintf(fout, "%I64d/n", ans); } fclose(fin); fclose(fout); return 0; }  

 

 

自我感覺講得很清楚了.......