低通濾波器和高通濾波器的程序實現原理推導

傅立葉變換,拉普拉斯變換和Z變換

對於信號分析而言,傅立葉變換是必不可少的,我們都知道傅立葉變換是把系統從時域變換到頻域進行分析,那麼拉普拉斯變換和Z變換是幹什麼的?簡單的來說,由於傅里葉變換的收斂有一個狄利克雷條件，要求信號絕對可積/絕對可和。對於那些不符合狄利克雷條件的信號該怎麼辦呢,我們將頻域的概念擴展到複頻域.首先要說明的是傅立葉變換大致有兩種,連續時間的傅立葉變換(CTFT)和離散的傅立葉變換(DTFT).而對於CTFT而言,拉普拉斯變換就是將連續時間系統的傅立葉變換擴展了;而對於DTFT而言,Z變換就是將離散時間系統的傅立葉變換擴展了.知乎上有一個很好的對三種變換的解釋:傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫

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RC一階低通濾波器的算法推導

一階的RC電路如下:

這裏直接給出其s域的傳遞函數:

VoutVin=1RCs+1,(s=jω)$$\frac{{\mathbf{V}}_{\mathbf{o}\mathbf{u}\mathbf{t}}}{{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{n}}}=\frac{1}{RCs+1},(s=j\omega )$$

對其進行z變換(一階後差分):
s=1−z−1T,T表示採樣周期$s=\frac{1-z^{-1}}{T},T表示採樣周期$
則傳遞函數變爲:

Y(z)X(z)=TRC(1−Z−1)+T$$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T}{RC(1-Z^{-1})+T}$$

又因爲Y(z)=Y(n)z−n,且Y(n−1)Y(n)=z−1$Y(z)=Y(n)z^{-n},且\frac{Y(n-1)}{Y(n)}=z^{-1}$ ,X(z)=X(n)z−n,且X(n−1)X(n)=z−1$X(z)=X(n)z^{-n},且\frac{X(n-1)}{X(n)}=z^{-1}$ ,代入到上式的傳遞函數得:

Y(n)=TT+RCX(n)+RCT+RCY(n−1)$$Y(n)=\frac{T}{T+RC}X(n)+\frac{RC}{T+RC}Y(n-1)$$

其中:
X(n):本次採樣值$X(n):本次採樣值$
Y(n−1):上次濾波值$Y(n-1):上次濾波值$
令a=TT+RC≈TRC=ωT=2πfT$a=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=\omega T=2\pi fT$
則濾波公式爲:

Y(n)=a∗X(n)+(1−a)∗Y(n−1)$$Y(n)=a\ast X(n)+(1-a)\ast Y(n-1)$$

這與px4代碼的lib庫中低通濾波是一樣的:

float BlockLowPass::update(float input)
{
    if (!PX4_ISFINITE(getState())) {
        setState(input);
    }

    float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();
    float a = b / (1 + b);
    setState(a * input + (1 - a)*getState());//input:本次採樣值 getState():上次濾波值
    return getState();
}

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一階RC高通濾波器

RC高通濾波器原理圖如下,它和低通相反,電阻兩端的電壓作爲輸出,則其s域的傳遞函數爲:

VoutVin=RCsRCs+1$$\frac{{\mathbf{V}}_{\mathbf{o}\mathbf{u}\mathbf{t}}}{{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{n}}}=\frac{RCs}{RCs+1}$$

z$z$ 變換(一階後向差分):

s=1−z−1T$$s=\frac{1-z^{-1}}{T}$$

得到z$z$ 域的傳遞函數爲:

Y(z)X(z)=RC(1−z−1)RC(1−z−1)+T$$\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{RC(1-z^{-1})}{RC(1-z^{-1})+T}$$

同樣的,Y(z)=Y(n)z−n,且Y(n−1)Y(n)=z−1$Y(z)=Y(n)z^{-n},且\frac{Y(n-1)}{Y(n)}=z^{-1}$ ,X(z)=X(n)z−n,且X(n−1)X(n)=z−1$X(z)=X(n)z^{-n},且\frac{X(n-1)}{X(n)}=z^{-1}$ ,則有:

Y(n)=RCRC+T(X(n)−X(n−1)+Y(n−1))$$Y(n)=\frac{RC}{RC+T}(X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$$

其中:
X(n):本次採樣值$X(n):本次採樣值$
X(n−1):上次採樣值$X(n-1):上次採樣值$
Y(n−1):上次濾波值$Y(n-1):上次濾波值$
我們令令b=TT+RC≈TRC=ωT=2πfT$b=\frac{T}{T+RC}\approx \frac{T}{RC}=\omega T=2\pi fT$ ,a=11+b$a=\frac{1}{1+b}$
則高通濾波的算法公式爲:

Y(n)=b∗(X(n)−X(n−1)+Y(n−1))$$Y(n)=b\ast (X(n)-X(n-1)+Y(n-1))$$

這與px4中的高通濾波是一樣的:

float BlockHighPass::update(float input)
{
    float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();
    float a = 1 / (1 + b);
    setY(a * (getY() + input - getU()));//getY():上次濾波器輸出值;getU():上次濾波器輸入值
    setU(input);
    return getY();
}

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總結

關於低通濾波和高通濾波,最關鍵的是學到了三類變換的關係以及離散化的方法,留下各位大佬的博客鏈接在此:
【濾波器學習筆記】一階RC低通濾波
傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫
基礎電路—RC組成的低通、高通濾波器
雙線性變換
z變換