超級跳棋

ISIJ 2018 超級跳棋（Training Round D6T5）

題目描述

小明是今年超級跳棋比賽的裁判，每輪有三名選手參加，結束時統計的分數一定是正整數，形如 a：b：c。小明的任務是在一塊特殊的計分板上展示分數，他一共準備了 n$n$ 塊寫有正整數 x1，x2，……，xn$x_1，x_2，\dots \dots ，x_n$ 的卡片，可供填寫在 a、b、c 的位置上。此外，小明瞭解到超級跳棋的規則，他發現 a、b、c 之間最多相差 k$k$ 倍，例如 ca>k$\frac{c}{a}>k$ 就是不合法的分數。爲了檢驗他準備得是否充分，你需要計算小明可以在計分板上擺放出多少種不同的分數，即 (a,b,c) 這樣的三元組有多少個。

限制

1s 256M

對於 20% 的數據，3≤n≤100,000，k=1，1≤xi≤100,000$3\le n\le 100,000，k=1，1\le x_i\le 100,000$

對於另外 20% 的數據，3≤n≤100，1≤k≤100，1≤xi≤100$3\le n\le 100，1\le k\le 100，1\le x_i\le 100$

對於另外 30% 的數據，3≤n≤100,000，1≤k，xi≤109且所有xi互不相同$3\le n\le 100,000，1\le k，x_i\le {10}^9且所有x_i互不相同$

對於另外 30% 的數據，3≤n≤100,000，1≤k，xi≤109$3\le n\le 100,000，1\le k，x_i\le {10}^9$

輸入格式

第一行，兩個整數 n$n$ 和 k$k$

第二行，n$n$ 個整數 x1，x2，……，xn$x_1，x_2，\dots \dots ，x_n$

輸出格式

一個整數，表示 (a,b,c) 三元組的個數

輸入樣例

5 2

1 1 2 2 3

輸出格式

9

樣例解釋

小明可以擺出的 a：b：c 有以下這些：1:1:2、1:2:1、2:1:1、1:2:2、2:1:2、2:2:1、2:2:3、2:3:2、3:2:2。由於 k=2$k=2$ ，1 和 3 不能同時出現。

題解

首先將 xi$x_i$ 排序，對於固定的最小值 xi$x_i$ ，a、b、c 三個數必然在 xi$x_i$ 到 xj$x_j$ 中選（即 xj+1xi>k$\frac{x_{j+1}}{x_i}>k$ ），當然對於 i$i$ 可以掃描線快速求得 j$j$ 。假設 xi$x_i$ 必然取，然後可以根據 xi$x_i$ 選 1 個還是 2 個還是 3 個，分類討論並用乘法原理統計答案。需要同時維護當前 xi$x_i$ 到 xj$x_j$ 有幾個是隻出現了 1 次、有幾個是出現了至少 2 次的（用 map 記錄一個數出現了幾次）。

這道題很睿智，不知道爲什麼放在第三題

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int read(){
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int a[100005],b[100005],d[100005],p,k,n;
int s[100005];
ll ans=0;
int find(int x){
    int l=1,r=p,ans=-1;
    ll q=(ll)x*k;
    while (l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if (d[mid]<=q){ l=mid+1; ans=mid;} else r=mid-1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    n=read(),k=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=read();
    sort(a+1,a+1+n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (a[i]!=a[i-1]) p++,d[p]=a[i];
        b[p]++;
    }
    for (int i=1;i<=p;i++){
        if (b[i]>=2) s[i]=s[i-1]+1;
        else s[i]=s[i-1]; 
    }
    for (int i=1;i<=p;i++){
        int q1=find(d[i]);
        if (q1==-1||q1<i) continue;
        int kd=q1-i;
        ans+=1ll*kd*(kd-1)*3;
        ans+=1ll*(s[q1]-s[i])*3;
        if (b[i]>=2) ans+=1ll*kd*3;
        if (b[i]>=3) ans++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}