leetcode_96. Unique Binary Search Trees

題目：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解題思路：

設一共有n個節點，可能的unique BST 爲DP(n)。跟節點可以是任意一個元素，如第i個元素。根節點左側爲1～i-1個元素，右側爲第i+1到第n個元素。而左側又是一個 i-1 個數的一個子樹可以以任意一個0～i-1 的數字爲根節點。所以左右子樹的可能爲DP（i-1）*DP(n-i)種可能。所以每個DP(n) 用前面的DP的值計算得來。而每個DP又循環每個值作爲根相加。

DP(0) = 1; DP(1) = 1;

代碼如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int DP[n+1];
        DP[0] = 1;
        DP[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i){
            DP[i] = 0;
        }
        for(int i = 2; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <=i; ++j){
                DP[i] += DP[j-1] * DP[i-j];
            }
        }
        return DP[n];
    }
};

注意DP中的元素初始化爲0，以爲後面要累加。