算法课作业系列(7)
Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee
题目描述
Your are given an array of integers prices, for which the i-th element is the price of a given stock on day i; and a non-negative integer fee representing a transaction fee.
You may complete as many transactions as you like, but you need to pay the transaction fee for each transaction. You may not buy more than 1 share of a stock at a time (ie. you must sell the stock share before you buy again.)
Return the maximum profit you can make.
Example 1:
Input: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
Output: 8
Explanation: The maximum profit can be achieved by:
Buying at prices[0] = 1
Selling at prices[3] = 8
Buying at prices[4] = 4
Selling at prices[5] = 9
The total profit is ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.Note:
0 < prices.length <= 50000.
0 < prices[i] < 50000.
0 <= fee < 50000.
思路
其实这道题不算难，主要考的是动态规划的问题，受到揹包问题的影响，我自己想到一个算法，时间复杂度为O(n^2)，而提交之后给出了超时的判定，在查看讨论区后，自己又根据别人的思想，写好了第二个算法。
值得一提的是，动态规划的算法大多数都比较短小，而思想也是把原问题分解之后求解，和分治类似。在想到动态规划的算法之前可能题目会很复杂，但是一旦找到了状态转移式之后，一切也就迎刃而解了，那么接下来就来看看这两个思路。
- 从后往前
其实这个想法个人认为是很自然而然的，要求最大利益，无非就是当天两种可能，卖或者不卖，先把公式表示出来：
C(i) = max{p(j) - p(i) - fee + C(j), C(i + 1)} j->(i + 1, n)
下面来详细说说这个式子，C代表最大利润，p为价格，那么第i天的最大利润就是第j天卖出加上第j天开始的最大利润和i+1天的利润的最大值。怎么去理解呢？假设我第i天是持有货物的，那么我的利润就是第j天卖出得到的利润，而第j天又可以买入新的货物，因此要加上第j天的最大利润；而如果我第i天手上没有货物，则我第i天的利润也就是第i+1天的利润，具体是第i天买入之后卖出还是第j天什么都不做，就要看这两种结果谁更大就好。我们的前面的值是依赖后面的，因此我们要从最后一天开始往前看，最后一天一定是什么都不做，利润为0，继续往前，只要分解成小问题就可以了，具体的参考上面的公式。 - 从前往后
上面那个是我个人的思考，这里介绍一下另外一个思路，同样的先给出公式
HOLD(i) = max{HOLD(i - 1), SOLD(i - 1) - p(i)}
SOLD(i) = max{SOLD(i - 1), HOLD(i - 1) + p(i) - fee}
上面的HOLD代表第i天持有货物的利润，而SOLD代表第i天没有货物的利润，因此我们可以知道：
HOLD(i)一种情况下是前一天没有货物，但是当天买了货物；另一种情况是前一天有货物，当天什么都没做，具体看上面的公式
SOLD(i)一种情况是前一天就没有，当天什么都没做；另一种是前一天有，今天卖出了，可以参考上面公式
而第一天的话，考虑到没有本金，那么SOLD(0)就应该为0，HOLD(0)就应该为-p(0)，这样，我们的算法就设计出来啦！