堆排序
算法介紹
堆是一種數據結構，可以把堆看成一棵完全二叉樹，這棵完全二叉樹滿足：任何一個非葉結點的值都不大於（或不小於）其左右孩子結點的值。若父親大孩子小，叫大頂堆；若父親小孩子大，則這樣的堆叫做小頂堆。
二叉樹：每個結點最多隻有兩棵子樹，即二叉樹中結點的度只能爲0、1、2。子樹有左右之分，不能顛倒。
滿二叉樹：在一棵二叉樹中，如果所有的分支結點都有左孩子和右孩子結點，並且葉子結點都集中在二叉樹的最下一層。另一種定義：一棵深度爲k且有個結點的二叉樹稱爲滿二叉樹。
完全二叉樹：深度爲k，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度爲k的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時，稱之爲完全二叉樹。通俗來講，一棵完全二叉樹是由一棵滿二叉樹從右至左從下而上，挨個刪除結點所得到的。
堆排序的思想：將一個無序序列調整爲一個堆，就可以找出這個序列的最大（或最小）值，然後將找出的這個值交換到序列的最後（或最前），這樣有序序列元素增加·個，無序序列中元素減少1個，對新的無序序列重複這樣的操作，就實現了排序。
堆排序執行過程
l 將原始序列化爲一個完全二叉樹。
l 從無序序列所確定的完全二叉樹的第一個非葉子結點開始，從右至左，從下至上，對每一個結點進行調整，最終將得到一個大頂堆。
對結點的調整方法：將當前結點（假設爲a）的值與其孩子結點進行比較，如果存在大於a值的孩子結點，則從中選出最大的一個與a交換。當a來到下一層的時候重複上述過程，直到a的孩子結點值都小於a的值爲止。
l 將當前無序序列中第一個元素，反映在樹中是根節點（假設爲a）與無序序列中最後一個元素交換（假設爲b）。a進入有序序列，到達最終位置。無序序列中元素減少1個，有序序列中元素增加1個。此時只有結點b可能不滿足堆的定義，對其進行調整。
l 重複3）中的過程，知道無序序列中的元素剩下1個時排序結束
算法代碼（Java）
/**
* 堆排序
* @author 卡羅-晨
*
*/
public class HeapSort {
/**
* 找出左孩子
* @param i 堆下標
* @return 左孩子的下標
*/
public static int leftChild(int i) {
return 2*i+1;
}
/**
* 用於刪除一個最大值和建立堆
* @param a 無序序列
* @param i 過濾下來的位置
* @param n 堆的邏輯大小
*/
private static <T extends Comparable<? super T>> void percDown(T[] a,int i,int n) {
int child;
T tmp;
for (tmp = a[i];leftChild(i)<n;i=child) {
child = leftChild(i);
if(child != n-1 && a[child].compareTo(a[child+1])<0) {
child++;
}
if(tmp.compareTo(a[child])<0) {
a[i] = a[child];
}else
break;
}
a[i] = tmp;
}
/**
* 標準堆排序
* @param a可比較的集合
*/
public static <T extends Comparable<? super T>> void heapsort(T[] a) {
//建立堆
for(int i=a.length/2-1;i>=0;i--) {
percDown(a, i, a.length);
}
for(int i=a.length-1;i>0;i--) {
T tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
percDown(a, 0, i);
}
}
}
性能分析
時間複雜度
對於percDown()方法來說，顯然child走的是一條從當前結點到葉子結點的路徑，完全二叉樹的高度爲log(n+1)，即對每個結點調整的時間複雜度爲O(logn)。對於heapsort()方法，基本操作總數應該是兩個並列的for循環中基本操作的次數相加，第一個循環的基本操作次數爲O(logn)*n/2，第二個循環基本操作次數爲O(logn)*(n-1)，因此整個算法的基本操作次數問爲O(logn)*n/2+ O(logn)*(n-1)，化簡後得其時間複雜度爲O(nlogn)。
空間複雜度
從算法代碼可以看出，本算法的額外空間只有一個tmp，因此額外空間複雜度爲O(1)。
注意：堆排序的最壞情況下的時間複雜度也是O(nlogn)，這是它相當於快速排序的最大優點，堆排序的空間複雜度爲O(1)，在所有時間複雜度爲O(nlogn)的排序中是最小的，這也是其一大優點，堆排序適合的場景是記錄數很多的情況。