likelihood ratio與Radon-Nikodym derivative

隨機過程和系統的仿真，尤其碰到稀有事件時，常常採用一個新的概率測度替代原有的自然概率測度仿真，以增大稀有事件的發生概率（change of measure,重要抽樣）。比如我們想通過仿真（Monte Carlo）估計樣本空間中的某個集合A的概率（很小，比如10的-8次方級），如果採用自然概率測度，則平均要仿真一億次才能得到一個樣本落在這個集合裏面。這樣需要仿真多個億次才能得到有效的估計。爲克服這個問題，我們可以採用一個新的概率測度，在這個新的測度下，讓集合A出現的概率變大，甚至大到1，也就是說仿真的每一個樣本點都落在集合A裏面。當然，在結果統計時，一個樣本點不能算1個，而必須乘以likelihood ratio來糾偏。進一步，假設集合A的一個劃分：子集A1,A2, A3. 其中A3的自然概率比A1,A2小很多（比如A1, A2在10的-8次方級，而A3在10的-12次方級）. 這樣估計集合A的概率時我們可以忽略A3。於是我們可以選擇一個新的概率測度，讓全部樣本點都落在A1,A2裏面。
對於這樣一種做法，有一些事件（A3）在原有的自然概率測度下其概率不等於0而在新的概率測度下爲0。根據Radon-Nikodym定理，此時Radon-Nikodymderivative是不存在的，但是likelihood ratio卻可以有意義的計算，因爲既然那些事件在新的概率測度下概率爲0，它們在仿真過程中就不會出現，因此likelihood ratio中也不會出現分母爲0的情況。

似然比(likelihoodratio, LR) ，我們特指似然比檢驗，它是一個統計學研究中得出的一個概念，它是似然函數的比值。基於此值我們可以在兩個不同假設中作出選擇,常在極大似然比檢驗中見到。

Radon-Nikodym derivative 是泛函分析研究中得出的一個概念：給定測度空間(X,Σ),  如果該空間上有兩個σ-有限測度ν，μ，並且ν關於μ絕對連續（就是對任意集合A，如果μ（A）=0，則ν（A）=0），那麼在集合X上存在一個取值於[0,∞)的可測函數f 使得dν(A)=fdμ(A) ,在隨機方程中也經常出現。

Radon-Nikodym derivative 涉及到概率比，即對應分佈比，它就是一種似然比，新概率關於舊概率絕對連續的。