——原載《科學》第49卷第1期，上海，1997年。
數學是一門演繹的學問，從一組公設，經過邏輯的推理，獲得結論。因此結果是十分堅強的。它會有用，是可以想像的。但應用的廣泛與深刻，則到了神妙的地步，非常理可以預料的了。以下就最近數學的發展，舉若干故事爲談助。
1有限單羣
數學的發展中有一個突出的觀念叫做“羣”。要研究羣的結構，自然應研究羣的子羣，即在同一運算下成羣的子集。命G爲羣，H真包含於G爲一子羣。如對任何g∈G，g-1Hg真包含於H，則H稱爲正則（normal）的。正則子羣的存在，可使羣G的研究變爲子羣H及商羣G/H的研究，而因此簡單化。
大致說來，沒有正則子羣的羣叫做單羣（simple group）。這名詞有點滑稽；顯然單羣並不簡單。關於單羣，有限羣論中有一個深刻的定理，叫做費特一湯普森定理：單羣的級（order，即元素的個數）是偶數。
有限羣論的一個奇特現象，是除了一些傳統羣外，有某些零星的單羣。現在所知最大零星單羣的級是
808017…000000，
共有54位數。這是費希爾與格里斯發現的。數學家叫它爲“怪物”（monster）。這當然是一個十分奇怪的羣。有專家說，所有的有限單羣都在這裏了。這結果的證明，聽說需1000頁，也沒有人完全寫下來。千頁的證明，含有錯誤的可能性是很大的。
這樣，數學就起了疑問：長證明算不算證明？計算機檢驗到某一高度算不算證明？這是目前的一個聚訟的問題。
2橢圓曲線
所謂費馬的最後定理說，方程式x^n+y^n=z^n,n>2,xyz!=0沒有整數解（x，y，z）。
這個傳說了300多年的結果，最近由英國數學家懷爾斯及泰勒證明了。這當然是近幾年來數學界的一件大事。全文見1995年的《數學紀事》[1,2]。證明中使用的一個基本工具，叫做“橢圓曲線”。這是代數數論的一支。有以下一則故事：英國的大數學家哈代有一天去醫院探望他的朋友、印度天才數學家拉馬努金。哈代的汽車號是1729。他向拉馬努金說，這數目沒有意思。拉馬努金回答說，不然，這是最小的數，可用兩種不同方法，寫爲兩個立方數的和的，如1729=1^3+12^3=9^3+10^3，
這結果可用橢圓曲線來證明。
橢圓曲線是一門深刻而美妙的數論。一個係數是整數的多項式方程P（x，y）＝0，
通常叫做丟番圖方程。它有無整數解（即x，y都是整數），這是數論的基本問題。需要了解的是，這問題與代數幾何有關。若上述方程式的x，y是實數，它確定一代數曲線。若x，y是複數，則方程可釋爲把y定爲x的多值函數；複變函數論有黎曼曲面的觀念，用來表示這個關係（但此理論較複雜）。兩種情形都有一個重要數量，叫做虧格（genus）。虧格是1的曲線P（x，y）＝0叫做橢圓曲線。橢圓曲線上有一種奇怪的加法，成一可交換羣，這是代數數論的一個十分有趣的結果。
日本數學家谷山豐推測，我的同事伯克利加州大學教授裏貝證明：費馬定理可由一個橢圓曲線的定理導出。懷爾斯就證明了這條定理。從這定理我們應認識，高深數學是必要的。費馬定理的結論雖然簡單，但它蘊藏着許多數學的關係，遠超出結論中的數學觀念。這些關係，日新月異，十分神妙。學問之奧，令人拜賞。
我相信，費馬定理不能用初等方法證明。這種努力，會是徒勞的。數學是一個整體，一定要吸收幾千年的所有進步。
3拓撲與量子場論
1995年初的一天晚上，我和內人看睡前的電視新聞。忽然聽到我的名字，大吃一驚。原來加利福尼亞發行一種彩票，頭彩300萬元，可以累積。我從前的一個學生，名叫烏米尼，中了頭彩，獲美金2200萬元。他並且說，將以100萬元捐贈加州大學，設立“陳省身講座”。
學校決定，以此講座邀請名學者爲訪問教授。第一位應邀的爲英國數學家阿蒂亞爵士。他是劍橋大學三一學院的院長，曾任倫敦皇家學會會長。他作了八講，講題是“拓撲與量子場論”。這是當前一個熱門的課題，把最高深的數學和物理聯起來了，導出了深刻的結果。
物理學的一個基本觀念是“場”。電磁場尤爲近代生活的一部分。電磁場的勢（potential）適合麥克斯韋方程，但它不是一個函數。這種場叫做規範場.物理上有四種場：電磁場、引力場、強場和弱場。現在知道，這些場都是規範場，即數學上是一組矢量空間，用線性羣結合起來的。電磁場的重要推廣，是楊一米爾斯的規範場論。它把羣從旋轉羣推廣到SU（2）——一個非交換的羣。
這自是科學上一個偉大的發展。數學家可以自豪的是所需的幾何觀念和工具，在數學上已經發展了。楊一米爾斯方程反過來影響到拓撲。這個方面的一個主要工作者是英國年輕的數學家唐納森。利用楊一米爾斯方程可以證明，四維歐氏空間動有無數微分結構，與基本的不同。這結果最近又由塞伯格一威騰的新方程大大地簡化了。二維流形的發展有一段光榮的歷史。現在看來，三、四維流形恐將更爲豐富和神妙。它將在數學和物理上開出美麗的花朵是可以斷言的。
4球裝問題
在一定空間中如何能裝得最緊，這顯然是一個實際而重要的問題。爲使問題數學化，我們假定所裝物體爲半徑爲1的球。一個立刻產生的問題是：圍着一球，可放幾個同樣大的球？
在二維的平面，繞一單位圓我們顯然可放6個單位圓。在三維的空間，我們如把單位球繞單位球，則可以證明，12個球是放得進的。剩下還有許多空間，但不能放進第13個球。
這定理並不容易證。關於空間裝球的密度，有一個開普勒假設，已經400多年了。最近，項武義教授對這個問題又作了巨大的貢獻[3]。關於這問題的各個方面，請參閱項武義最近的文章。
立體幾何是一個重要而困難的方面。近年來C60的研究顯示了幾何在化學上的應用。它當然對固態物理也有重大作用。球裝不過是立體幾何中的一個問題，前途卻是大有發展的。
5芬斯勒幾何
最近經我的鼓勵，芬斯勒幾何有重大的發展，作簡略報告如次。在（x，y）平面上設積分：
s=∫[a->b]F(x,y,dy/dx)dx，
其中y爲x的未知函數。求這個積分的極小值，就是第一個變分學的問題。稱s爲弧長，把觀念幾何化，即得芬斯勒幾何。高斯看出，在特別情形，
F^2=E+2Fy'+Gy'^2,y'=dy/dx，
其中E，F，G爲x，y的函數，幾何性質特別簡單。1854年黎曼的演講討論了整個情形，創立了黎曼一芬斯勒幾何。百餘年來黎曼幾何在物理學有重要的應用，而整體黎曼幾何的發展更是近代數學的核心動部分。
黎曼的幾何基礎包含芬斯勒幾何。我們最近幾年的工作，把黎曼幾何的發展，局部的和整體的，完全推廣到芬斯勒幾何。這將是微分幾何的一塊新園地，預料前景無限。1995年夏，在美國的西雅圖有一個芬斯勒幾何的國際會議，其報告已於1996年由美國數學會出版。
芬斯勒幾何，在著名的1900年的希爾伯特演講中，是第23個問題。
6結論：關於中國的數學
中國人的數學能力是不容懷疑的。中國將成數學大國，我覺得也是不爭的事實，可能時間會有遲早而已。我希望注意下列幾點：
(1)要發展中國自己的數學。數學千頭萬緒，無法盡包。集中在幾個方向是自然的選擇。當年芬蘭的複變函數論和波蘭的分析都是成功的例子。但我個人喜歡低維拓撲，希望有人注意。
(2)中國的數學發展，必須普遍化；窮鄉僻壤，何地無才。幾年前我曾提議強化十個重點大學的數學所。這個計劃當爲目前發展數學最重要的措施，但個數可能要添加三五個。
中國的中小學數學教育，不低於歐美。我們到了攀登的時候了。
參考文獻
[1]WilesA．ModularellipticandFermat’slasttheorem．AnnalsofMathematics,1995,141:443
[2]TaylorR,WilesA．RingtheorempropertiesofcertainHeckealgebras．AnnalsofMathematics,1995,141:533
[3]HsiangWY．ArejoindertoHaler’sarticle．MathematicalIntelligence,1995，17：35