本文是1992年5月31日在“紀念國家自然科學基金十週年學術報告會”上的講話。原載《中國數學會通訊》1992年6月。
今天我很榮幸能有這個機會同大家講話。我先講兩個故事。
我們都知道歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》，這是一本數學方面的論著。完成於2000多年以前。它對於人類是一個很偉大的貢獻。書中包括了分析和代數，不限於幾何，目的是用推理的方法得到幾何的結論。其中，第13章的內容講的是正多面體的面數。正多面體就是這樣一個多面體：它的面互相重合，同時通過一個頂點和每面的邊數是相同的。正多面體在平面上的情形是正多邊形。正多邊形很多，有正三角形、正四邊形……等等。當時發現，到了空間，討論正多面體就不這麼簡單了。空間的正多面體少得多，一共有五種正多面體：四面體、六面體、
八面體、十二面體，最大的一個是正二十面體。有個朋友寫了一本書，把這些漂亮的幾何圖形都收進去了，我這裏有一份彩色的拷貝。
有些人可能會想，數學家們一天到晚沒有事情可做，無中生有，搞這些多面體有什麼意思？不過我跟張存浩先生講，現在化學裏的鈦化合物就跟正多面體有關係。這就是說，經過2000年之後，正多面體居然會在化學裏有用，有些數學家正在研究正多體和分子結構間的關係。我們也知道，生物學上的病毒（Virose）也具有正多面體的形狀。這表明，當年數學家的一種“空想”，經歷了這麼長的時間之後，竟然是很“實用”的。
我再講一個許多人都在講的故事。有兩個中學時代的朋友，多年未見了，一天忽然碰到。甲對乙說：“你這些年在做什麼事？”乙說：“我在研究人口問題”。甲當然很想看看老朋友的工作，於是拿來乙的人口學論文一讀，發現論文出現很多π。他覺得好奇怪：π是圓周率，圓周與直徑之比，這怎麼會和人口扯上關係？這個問題與上面的正多面體問題說明了同樣的一點，即基礎科學，特別是純粹數學很難說將來會在什麼時候會有用，並且起到很重要的作用。如果要求基礎科學立刻就要有應用，那是太短視了。
數學家經常在家裏思想問題，想出來的東西爲什麼會有用？我想，主要的原因就是它的基礎非常簡單，又十分堅固，它的結果是根據邏輯推理得出來的，所以完全可靠。邏輯推理比實驗證實所獲的結果要更爲可靠些。數學由於它的邏輯可靠性，因而是一門有堅實根底的學問，這是數學有用的一種解釋。
還有一個問題是，爲什麼許多不同的學科往往會用到相同的數學？這也是弄不清楚的問題。一種解釋是好的數學太少。天下的高山就那麼幾座，天下漂亮的東西總是不太多。你到了北京，去玩漂亮的地方，無非是長城，天壇，故宮，總之是不太多。數學要講應用，就往往歸結到那幾種特別好的數學，這種好數學也不多。
我的題目是講21世紀的數學，也就是要講中國的數學該怎麼發展，如何使中國數學在21世紀佔有若干方面的優勢。這個辦法說來很簡單，就是要培養人才，找有能力的人來做數學。找到優秀的年輕人在數學上獲得發展。具體一些講，就是要在國內辦十個夠世界水平的第一流的數學研究院。中國這麼大，不僅北京要有，別的地方也應該辦，一般說來，也許應該辦十個。至於什麼叫夠水平，第一流，這並沒有嚴格的定義。我只能說南開數學所不夠水平，南開要達到世界水平還需要很多的努力。中國科學的根子必須在中國。中國科學技術在本土上生根，然後才能長上去。可是要請有能力的人來做數學很不容易。我從1984年開始組建南開數學所。開始想請有能力的人來所工作就是了。可是由於種種原因，很難做到這一點。我們辦第一流的研究所就是要有第一流的數學家。有了第一流的數學家，房子破一點，設備差一點，書也找不到，研究所仍是第一流。不然的話，房子造得很漂亮，書很多，也有很貴的計算機，如果沒有人來做第一流的工作，又有什麼用處？我看到這種情形，就改變想法，努力訓練自己的年輕人，培養自己的數學家，送他們出國學習，到世界各地，請最好的數學家給予指導。我很高興告訴大家，這些措施已經開始出現成效。比方說賀正需，他到美國加州大學聖地亞哥分校跟M.弗裏德曼學，弗裏德曼得過菲爾茲獎，是年輕的領袖人物。他親自對我說，賀正需是他最好的學生。賀正需現在在普林斯頓。再比如，王蜀光。他是王寬誠基金會資助出國的，在選拔考試中獲第一名。我介紹他到英國牛津大學，跟S.唐納森。唐納森是英國當代最不得了的年輕數學家。我想他大概還不到30歲，現已成爲牛津大學教授。王蜀光一年前已完成了他的博士論文。另一位王榮光（不是兄弟）也是王寬誠基金會資助出國的，他到美國哈佛大學跟C.Taubes讀博士學位，今年也做完了論文。還有一位是張偉平，他的老師是D.別斯繆（Bismut），是法國最有名的年輕數學家，（另一位是A.Connes）。張偉平在巴黎只用兩年時間完成了博士論文，現在在巴黎的Institut.desHautesEtudes做博士後。我還可以提到一些人，這裏不能一一列舉了。
上述四人中，張偉平已答應明年回國，回到南開來。明年張偉平如果回來的話，我希望政府能給一些方便，像這樣的人才，希望能留住他。留學生能否回來，主要是國內的環境，待遇問題，對有成就的科學家要給予相應的待遇，今天我不準備談這個問題。我只是說，世界上的人才應該是流動的，歐洲回來的人可再到美國去，當前政策比較寬鬆，要出國也容易。所以必須想法子留住人，有適當的政策。當然我只會處理數學，政策問題不是我所能處理的。
下面談談主流數學與非主流數學的問題。大家知道，數學有很多特點。比如做數學不需要很多設備，現在有電子通訊（E-Mail），要的資料很容易拿到。做數學是個人的學問，不象別的學科，必須依賴於設備，大家爭分奪秒在一些最主要的方向上工作，在主流方向作出你自己的貢獻。而數學則不同。由於數學的方向很多，又是個人學問，不一定大家都集中做主流數學。我倒覺得可以鼓勵人們不一定在主流數學上做。常有的情形是現在不是主流，過幾年卻成爲主流了。這裏我想講講我個人的經驗。1943年，我在西南聯大教書，楊振寧先生在學校裏做研究生。那年我應邀從昆明到普林斯頓高等研究院去，楊先生後來在那裏做教授。靠近普林斯頓有一個小城叫New
Brunswick，是新澤西州立大學所在地。我8月到普林斯頓不久，就在New Brunswick參加美國數學會的暑期年會。由於近，我也去聽聽演講，會會朋友。有一次我和一位美國非常有地位的數學家聊天，他問我做什麼，我說微分幾何，他立刻說，“It is dead（它已死了）”。這是1943年的事，但戰後的情形是微分幾何成了主流數學。因此，我覺得做數學的人，有可能找到現在並非主流，但很有意義、將來很有希望的方向。主流方向上集中了世界上許多優秀人物，投入了大量的經費，你搶不過他們，趕不上，不如做其它同樣很有意義的工作。我希望中國數學在某些方面能夠生根，搞得特別好，具有自己的特色。這在歷史上也有先例。例如：第二次世界大戰以前，波蘭就搞邏輯、點集拓撲。他們根據一些簡單公設推出結論，
成就不小。另外如芬蘭，在複變函數論上取得成功，一直到現在。例如在擬共形映照（Quasi Conformal Mapping）上的推廣一直在世界上領先。因爲他們做的工作，別的國家不做，他們就擁有該領域內世界上最強的人物，我還可以舉出更多的例子。
我剛纔提到要辦十個夠水平的研究院，怎樣纔會夠水平呢？
第一，應當開一些基本的先進課程。學生來了，要給他們基本訓練，就要爲他們開高水平的課。所謂的基本訓練有兩方面。一是培養推理能力，一個學生應該知道什麼是正確的推理，什麼是不正確的推理。你必須保證每步都正確。不能急於得結果就馬馬虎虎，最後一定出毛病。二是要知道一些數學，對整個數學有個判斷。從前是分析有關的學科較重要。20世紀以來是代數較時髦，羣論、羣表示論，後來是拓撲學等等。總之，好的研究中心應該能開這些基本課程。如不每年開，也可以兩年開一次。在我看來，中國要做到這一點是不困難的。無非是兩條：一是講授研究院的某些課程，給予獎金。二是另外也可請幾個國外的人來教。請的人如果不是最活躍的，甚至請退休的人來，花費並不大，他們在國外已有退休金，請到中國來只要安排好生活，少量的旅遊也就可以了。這樣，數學研究院會有一個完整的課程系統。
第二，我想必須要有好的學生。我們每年派去參加國際奧林匹克數學競賽的中學生都很不錯。雖然中學裏數學念得好將來不一定都研究數學，不過希望有一部分人搞數學，而且能有成就。昨天，我和在北京的一些數學競賽中獲獎的學生見面，談了話。我對他們說，搞數學的人將來會有大的前途，十年、二十年之後，世界上一定會缺乏數學人才。現在的年輕人不願念數學，勢必造成人才短缺。學生不想念數學也難怪。因爲數學很難，又沒有把握。苦讀多年之後，往往離成爲數學家還很遠。同時，又有許多因素在爭奪數學家，例如計算機。做一個好的計算機軟件，需要很高的才能，很不容易。不過它與數學相比，需要的準備知識很少。搞數學的人不知要念多少書，好象一直念不完。這樣，有能力的人就轉到計算機領域去了。也有一些數學博士，畢業後到股票市場做生意。例如預測股票市場的變化，寫個計算機程序，以供決策。這樣做，雖然還是別人的僱員，並非自己當老闆，但這比大學教授的薪水高得多了。因此，數學人才的流失，是世界性的問題。
相比之下，中國的情況反而較爲樂觀，因爲中國的人才多，流失一些還可以再培養。流失的人如真能賺錢，發財之後會回來幫助蓋數學樓。總之，我們應取一個態度：中國變成一個輸送數學家的工廠。出去的人希望能回來，如果不回來，建議我們仍然繼續送。中國有的是人才，送出去一部分在世界上發揮影響也是值得的。我們要做的事是花不多的錢，打好基礎，開出好的課，基礎搞得好了，至於出去的人回來不回來可以變得次要些。這是我的初步想法。
比方說，參加國際奧林匹克數學競賽的人，數學都是很好的，如果他們進大學數學系，我建議立刻給獎學金。這點錢恐怕很有限，但效果很大，對別人也是一種鼓勵。中國的孩子比較聽家長、老師的話。孩子有數學才能，經過家長、老師一勸，他就念數學了。
對好的數學系學生來說，到國外去只是時間問題，你只要在國內把數學做好，出國很容易。國內做得很好的話，到了國外不必做研究生，可以直接當教授。中國已有條件產生第一流的數學家，大家要有信心。
培養學生我主張流動。19世紀的德國數學，當然是世界第一。德國的大學生可以到任何大學去註冊。這學期在柏林聽Weierstrass的課，下學期到哥廷根聽Schwarz的課，隨便流動。教授也可以流動，例如柏林大學已有M.普朗克、A.愛因斯坦，一個理論物理學家在柏林大學自然沒有發展的希望，就不妨到別的學校去創業。我希望中國的學生、教授都能流動。教授可以到別的學校去教課，教上半年。各個數學研究院的教授也能互相交換。
我想再稍微講點數學。剛纔說過，選擇數學研究方向並不一定要跟主流，可以選自己特別喜歡的那些分支。不過，一個數學家應當瞭解什麼是好的數學，什麼是不好的或不大好的數學。有些數學是具有開創性的，有發展的，這就是好的數學。還有一些數學也蠻有意思，但漸漸變成一種遊戲了。所以選擇好的數學研究方向是很要緊的。
讓我舉例來談談。大家是否知道有個拿破崙定理？這個定理也許和拿破崙並沒有關係，卻也蠻有意思。定理是說任給一個三角形，各邊上各作等邊三角形，然後將這三個等邊三角形的重心聯起來，又是一個等邊三角形。各邊上的等邊三角形也可朝裏面做，得到兩個解，等等，這個數學就不是好的數學。因爲它難有進一步的發展。當然，如果你感到累了，願意想想這些問題，也蠻有意思，這好象一種遊戲。那麼什麼是好的數學？比方說解方程就是。搞數學都要解方程。
一次方程易解。二次方程就不同。x^2-1=0有實數解。x^2+1=0就沒有實數解。後來就加進複數，討論方程的複數解。大家知道的代數基本定理就是n次代數方程必有複數解。這一問題有長的歷史。當年的有名數學家歐拉（1707-1783）就考慮過這個問題。歐拉名望很高，但當時沒有教授的職位，生活上也很困難。那時的德國皇帝認爲皇宮中一定要有世界上最好的數學家。所以就把歐拉請去了。歐拉就曾研究過代數基本定理，結果一直沒有證出來。後來還是高斯（1771-1855）發現了複數與拓撲有關係，有了新的理解。因爲模等於1的複數表示一個圓周，在這圓周上就會有很多花樣。第一個會證明代數基本定理的是高斯，而且給了不止一個證明。如果從解f(x)=0到f(x,y)=0，那就進到研究曲線，當然也可能沒有解，一個零點也沒有。於是花樣就來了，假使你在f(x,y)=0中把x,y都理解爲複數，則兩個複數相當於四維實空間，這就很麻煩，出現了複變函數論中的黎曼曲面。你要有黎曼曲面來表示這個函數，求解原來的方程f(x,y)=0，那就要用很多的數學知識。其中最要緊的概念是虧格(Genus)g。你把f(x,y)=0的解看成曲面之後，那麼曲面有多少個圈，球面、環面等等的花樣就很多，都和g有關。此外，你也可以有另外的花樣。比如假定f(x,y)=0的係數都是整數，你也可以討論這一方程的整數解，這個問題就很難了。直到前幾年才發現這一方程是否有整數解和虧格g有密切關係。當g=0時，有無窮多個整數解。g=1則有些特別的性質。當g>1時，德國的伐爾廷斯(Faltings)在1984-1985年間證明了f(x,y)=0的整數解至多爲有限個。這一結果和費馬定理有關。那是說x^n+y^n=z^n（n>=3）沒有正整數解。這還沒有解決費馬問題，但是前進了一大步。
確實，數學可以引導出很深的觀念。數學中我願把數論看作應用數學。數論就是把數學應用於整數性質的研究。我想數學中有兩個很重要的數學部門，一個是數論，另一個是理論物理。理論物理也是用很多數學的部門。
在這一小時裏我無法講很多的數學。我還想講一點，比方說最近一個時期最熱鬧的數學是什麼，即當前的主流數學，剛纔我說過我並不喜歡大家都去搞主流數學，不過主流數學畢竟是重要的。
所謂主流數學，是指一個偉大的數學貢獻，深刻的定理，含義很廣證明也很不簡單。如果在當前選一個這樣的貢獻，我想那就是Atiyah-Singer指數定理。
Atiyah是英國皇家學會會長。上個月他來北京，還作過報告。這個指數定理可看成是上面所談問題的近代發展，即將代數方程、黎曼曲面、虧格理論等等從低維推廣到高維和無窮維。
因此，我覺得數學研究不但是很深很難很強，而且做到一定的地步仍然維持一個整體，到現在爲止，數學沒有分裂爲好幾塊，依舊是完整的。儘管現代數學的研究範圍在不斷擴大，有些觀念看來比較次要，慢慢就被丟掉了，但基本的觀念始終在維持着。
我想今天就這樣結束，謝謝大家。（根據錄音整理）