梯度、散度和旋度

旋度散度梯度矢量場拉普拉斯算子波動方程

梯度、散度和旋度是矢量分析裏的重要概念。之所以是“分析”，因爲三者是三種偏導數計算形式。這裏假設讀者已經瞭解了三者的定義。它們的符號分別記作如下：

從符號中可以獲得這樣的信息：

①求梯度是針對一個標量函數，求梯度的結果是得到一個矢量函數。這裏φ稱爲勢函數；

②求散度則是針對一個矢量函數，得到的結果是一個標量函數，跟求梯度是反一下的；

③求旋度是針對一個矢量函數，得到的還是一個矢量函數。

這三種關係可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續作用兩次，而一維波動方程具有如下的形式

(1)

其中a爲一實數，於是可以設想，對於一個矢量函數來說，要求得它的波動方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：

(2)

(3)

(4)

旋度公式略顯複雜。這裏結合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個“X度的X度”。

I.梯度的散度：

根據麥克斯韋方程有：

而

(5)

則電勢的梯度的散度爲

這是一個三維空間上的標量函數，常記作

(6)

稱爲泊松方程，而算符▽2稱爲拉普拉斯算符。事實上因爲定義

所以有

當然，這只是一種記憶方式。

當空間內無電荷分佈時，即ρ=0，則稱爲拉普拉斯方程

當我們僅需要考慮一維情況時，比如電荷均勻分佈的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個指向，場強處處相等，於是該電場滿足一維拉普拉斯方程，即

這就是說如果那邊平行板電容器的負極板接地，則板間一點處的電壓與該點距負極板的距離呈線性關係。

II.散度的梯度：

散度的梯度，從上面的公式中可以看到結果會比較複雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因爲從麥克斯韋方程可以看出空間某點處電場的散度是該點處的電荷密度，那麼再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴散，最後均勻。在半導體中，載流子分佈的不均勻會導致擴散電流。

散度的梯度這個概念其實不常用，因爲計算複雜，但在後面講用它來推導一個矢量恆等式。

III.梯度的旋度：

對於梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有

由於勢函數在空間一點的領域內往往是有二階連續混合偏導數的，因此上式的結果爲0.所以說梯度的旋度爲零，它的物理意義也是很明確的。

比如一個人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機上去，重力對他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關，而與路徑無關，這樣的場稱爲保守場，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點只有一個一根等高線穿過，那麼該點有一個確定的相對高度。如果該點有兩條或以上的等高線穿過，則這個點處在懸崖邊上，這個點處是不可微，也就沒有求梯度的意義。

IV.旋度的散度：

求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令

(7)

則

從而

將上面三式相加結果也爲零。所以說旋度的散度爲零，這就意味着一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個矢量，這是因爲有旋場可以疊加上這麼一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個標量函數的梯度。

V.旋度的旋度：

旋度的旋度將是本文的重點。若所研究的空間範圍內是無源的，即ρ=0，J=0，則根據麥克斯韋方程有：

(8)

(9)

(10)

(11)

對(9)式兩端取旋度

(12)

再將(8)式代入(12)式有

(13)

看到這裏容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程爲一維波動方程，那麼跟(13)式有什麼聯繫呢？棘手的問題是算旋度已經夠複雜了，算旋度的旋度豈不是更費周折？幸好有矢量恆等式可以利用來幫助簡化計算，這裏要用到前面所講的散度的梯度。即有：

(14)

這裏拉普拉斯算子作用於一個矢量函數時，意義變得不明確了，它和前面的幾個“X度的X度”都不一樣，實際上它有這樣的定義：

(15)

爲了驗證式(14)還是要對計算“旋度的旋度”，但以後可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令

則

於是

(16)

而令

(17)

兩式相減有

(18)

類似地有

由於所關心的空間內是無源的，所以式(13)變成

(19)

這個方程很重要，稱爲三維波動方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各分量展開後比較複雜，實際上我們無法繪製出一個向四面八方傳播的波的振動圖像，但好在可以畫出一維和二維的波，從而瞭解波的性質。有些事物我們無法在現實世界中呈現，或繪製出圖形，但是數學上卻可以計算且有確切的物理意義，比如高於三維的空間，不得不感嘆數學的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。

VI.幾個矢量恆等式：

前面已經介紹了一個矢量恆等式，還有其他幾個重要的恆等式。由於三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把▽當做一個普通的矢量來處理，但並不總是正確的，這一點需要引起注意。

①