一、簡介
堆數據結構的性質：堆：任何結點的值都小於或等於其孩子的值的完全二叉樹爲小根堆，任何結點的值都大於或等於其孩子的值的完全二叉樹爲大根堆。爲了方便使用完全二叉樹的性質，假定數組從下標1開始。這樣：
leftChild = 2*i;
rightChild = 2*i + 1;
parent = i/2;堆排序的最壞時間複雜度爲O(nlogn)。堆序的平均性能較接近於最壞性能。由於建初始堆所需的比較次數較多，所以堆排序不適宜於記錄數較少的文件。堆排序是就地排序，輔助空間爲O(1)。堆排序是不穩定的。
堆數據結構實現如下所示：
#include"stdio.h"
inline void swap(int &a,int &b)
{
int temp=a;
a=b;
b=temp;
}
void HeapAdjust(int array[],int i,int nLength)//自頂向下調整堆
{
int nChild;
int nTemp;//賦值爲待調整的 節點
for(nTemp=array[i];2*i<nLength;i=nChild)//2*i<nLength說明還有左孩子
{
nChild=2*i;//左孩子
/*一共兩個子節點的話得到 較大的一個*/
if(nChild<nLength-1&&array[nChild+1]>array[nChild])//nChild<nLength-1 判斷到頭沒有
++nChild;
/*如果較大子節點大於父節點 將子節點 調整到父節點*/
if(nTemp<array[nChild])
array[i]=array[nChild];
else
break;//這個地方不加 會出錯 第一個會輸出第二個
array[nChild]=nTemp;//子節點 等於父節點 （不執行break）
}
}
void HeapSort(int a[],int length)
{
/*初建堆 */
for(int i=length/2;i>0;--i)//從最後一個 非葉子節點調整 （這裏的 i是下標）
HeapAdjust(a,i,length);
for(int i=length;i>1;--i)
{
swap(a[1],a[i]); /*第一個最大元素跟最後一個交換*/
HeapAdjust(a,1,i);//調整堆 (注意 length=i 由於堆是逐漸變小的)
}
}
int main()
{
int a[10]={0,1,2,5,3,8,4,7,6};
HeapSort(a,8);
for(int i=1;i<9;i++)
printf("%d\n",a[i]);
return 0;
}優先級隊列代碼實現如下所示：
#include <iostream>
using namespace std;
template<class T>
class priqueue {
private:
int n, maxsize;
T *x;
void swap(int &i, int &j)//根據座標交換數組元素的值
{ T t = i; i = j; j = t; }
public:
priqueue(int m)//初始化數組
{ maxsize = m;
x = new T[maxsize+1];
n = 0;
}
void insert(T t)
{ int i, p;
x[++n] = t; //插入的元素放到最後
for (i = n; i > 1 && x[p=i/2] > x[i]; i = p)
swap(x[p], x[i]);
}
T extractmin()//向下調整堆
{
int i, c;
T t = x[1];
x[1] = x[n--];
for (i = 1; (c=2*i) <= n; i = c) {
if (c+1<=n && x[c+1]<x[c])
c++;
if (x[i] <= x[c])
break;
swap(x[c], x[i]);
}
return t;
}
void print(int n)
{
for (int i = 1; i < n; i++) //輸出堆
cout << x[i] << " ";
}
};
template<class T>
void pqsort(T v[], int n)//先初始化一個數組，然後插入建立一個堆
{ priqueue<T> pq(n);
int i;
for (i = 0; i < n; i++)
pq.insert(v[i]);
cout<<"輸出排序後的堆：";
pq.print(n);
}
int main()
{ const int n = 10;
int i, v[n];
/*以下是通過向上調整堆 建立一個10個元素的堆*/
for (i = 0; i < n; i++)
v[i] = n-i;
pqsort(v, n);
cout<<"\n執行插入和刪除操作(輸入0代表刪除最小值，輸入其他代表插入)"<<endl;
priqueue<int> pq(100);
int count=0;
while (cin >> i)
if (i == 0)
{
if(count)
cout <<"刪除的最小元素爲："<<pq.extractmin() << "\n";
else
cout<<"請先插入元素"<<endl;
}
else
{
pq.insert(i);
count++;
}
return 0;
}（1）高效性。堆中所有結點和根結點之間相差的層數在logn之內。因此其執行效率很高，堆排序通過在同一數組中包含兩種抽象結構（堆和元素序列）來避免使用額外空間。
（2）正確性，即堆數據結構的不變性質。
（3）抽象性。
（4）過程抽象。
（5）抽象數據類型。
三、習題
（1）習題1：實現基於堆的優先級隊列，儘可能的提高運行速度。
爲了提高向上調整堆的速度，在x[0]放置哨兵==當前插入的元素。省去了每次都判斷i>1，向上調整堆結束：x[p] <= x[i]。代碼如下：
void insert(T t) //向上調整堆
{
int i, p;
x[++n] = t; //插入的元素放到最後
x[0]=t;
for (i = n; x[p=i/2] > x[i]; i = p)
swap(x[p], x[i]);
}（2）習題4：如何使用優先級隊列解決下列問題：
a、構件霍夫曼碼；
b、計算大型浮點數集合的和；
c、在存有10億個數的文件中找到最大的100W個數；
d、將多個較小的有序文件歸併爲一個較大的有序文件；
解答：
a、構造哈夫曼樹時候，需要選取當前數組的兩個最小值，刪除兩個最小值，並將計算之和插入原來數組，採用堆，初建堆，兩次調用選取最小值的函數。計算之和之後，調用插入堆並調整堆；b、如果將較小浮點數和較大浮點數相加可能造成丟失精度。所以每次取最小的兩個相加。然後將和插入數組集合。最後剩下一個就是所有浮點數的和；c、典型的topK；d、將所有小文件要插入的當前值組成一個堆。取堆最小值，插入排序數組。調整堆。然後插入該小文件下一個元素（無後繼則不操作）。
（3）習題7：在一些計算機上，除以2求當前範圍的中點是二分搜索程序中開銷最大的部分。假設我們已經正確構建了待搜索的數組，說明如何使用乘以2的操作來替代除法。給出建立並搜索這樣一個數組的算法。
修改後的二分搜索從i=1開始，每次迭代將i設置爲2i或2i+1.元素x[1]包含中值，x[2]包含第一個四分位值，x[3]包含第三個四分位值，等等。一種能在O(n)時間內將n元有序數組調整爲“堆搜索”順序的算法。作爲該方法的先驅，考慮把一個2^k-1元的有序數組a拷貝到一個“堆搜索”數組b中：a中奇數位的元素按順序放到b的後半部分，模4餘2位置的元素按順序放到b中剩餘部分的後半部分，等等。