樹狀數組專題

原創

DS-K

2018-09-05 01:10

樹狀數組專題

基礎和原理就不多說了，做了一些樹狀數組的題，現在根據題目來大概分一下類。

1、一維單點修改區間查詢

這是樹狀數組最基礎的用法，query函數的判斷條件如果習慣寫成while(x)的請注意一下，如果x爲負數的話，會造成死循環。要將數據偏移到1下標開始。

void add(int x,int k)
{
    while(x<=n)
    {
        sum[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}
query(int x)
{
    int ans = 0;
    while(x>0)
    {
        ans+=sum[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

2、一維區間修改單點查詢

操作是修改一個區間內的數，查詢是隻查詢一個點。

如果區間範圍很大，我們每次模擬修改一遍是非常耗時的。所以我們要優化每次對區間的操作，如果對區間[3,5]操作一次，x[3]++,x[6]--。

那麼我們觀察前六個數的前綴和爲：0 0 1 1 1 0 ，前綴和的狀態正好可以表示我們剛纔的操作，而且去更新前綴和可以藉助樹狀數組優化至logn。

因此一個位置的前綴和就可以表示這個位置的值。

修改：[x,y] + c

add(x,c) add(y+1,-c)

查詢：query(x)

題目：hdu 1556

題解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50674183

3、一維區間修改區間查詢

如果對一個區間[x,y]都加上c

那麼如果查詢前i個數的和：s(i) 表示改變之前的和 s(i)'表示改變之後的和

(1) i>y s(i)’ = s(i) + ( y - x + 1 ) * c

(2) i∈[x,y] s(i)’ = s(i) + ( i - x + 1 ) * c

對於區間修改，我們可以參考第二種，在x位置加上c，y+1位置減去c，這樣求得的前綴和的值就只在[x,y]內有效。觀察(1)(2)都有一個固定的 (1-x)*c,所以我們可以在x位置先將其減去，再在y+1處加上y*c，用意爲，如果範圍超過y的話，這個前綴和正好就是( y - x + 1 ) * c。但是如果沒超過怎麼辦？如果在範圍內的話c還是有效的，所以加上i*c即可。

這樣我們設計兩個前綴和來維護。

第一個T1來維護增加量c

第二個T2來維護區間的實際增加量

所以每次操作[x,y]都加上一個值c就可以

T1:add(x,c) add(y+1,-c)

T2:add( x , (1-x)*c ) add( y+1, y*c )

查詢[1,x]

T2.query(x) + x * T1.query(x)

如果查詢[x,y]，那麼就先用查詢y的結果減去查詢x-1的結果即可。

題目：poj 3468

題解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50674218

4、二維單點修改區間查詢

有一個二維矩陣，每次修改一個點，或者查詢一個矩形範圍內的和。

void add(int x,int y,int k)
{
    while( x <= n )
    {
        int ty = y;
        while( ty <= n )
        {
            sum[x][ty]+=k;
            ty+=lowbit(ty);
        }
        x+=lowbit(x);
    }
}

int query(int x,int y)
{
    int ans = 0;
    while( x>0 )
    {
        int ty = y;
        while(ty>0)
        {
            ans+=sum[x][ty];
            ty-=lowbit(ty);
        }
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

我看到有人用for來寫，代碼也很簡潔。
void add(int x,int y,int k)
{
   for(int i = x; i <= n; i+=lowbit(i))
    for(int j = y; j <= n; j+=lowbit(j))
        sum[i][j]+=k;
}

int query(int x,int y)
{
    int ans = 0;
    for(int i = x; i > 0; i-=lowbit(i))
        for(int j = y; j > 0; j-=lowbit(j))
            ans+=sum[i][j];
    return ans;
}

二維樹狀數組也是維護一個前綴和，只不過一個增加了一維而已。

回到問題，如果是單點修改的話直接add(x,y,c)即可。

如果是區間查詢的話，調用一次query(x,y)顯然是求(1,1) 到 (x,y)範圍內矩形的和。觀察下圖，我們沒辦法一次查詢出來給定區間的值，但是我們可以通過計算得出。

現在如果要查詢藍色範圍內的和

調用A點是求紫色邊框

調用B點是求綠色邊框

調用C點是求黃色邊框

調用D點是求紅色邊框

那麼A-B-C+D即是答案。