NOIP 提高組 初賽 三、問題求解 習題集（一）NOIP1995-NOIP1999
1.第一屆(NOIP1995)
問題：
<3> 有標號爲A、B、C、D和1、2、3、4的8個球，每兩個球裝一盒，分裝4盒。標號爲字母的球與標號爲數字的球有着某種一一對應的關係（稱爲匹配），並已知如下條件：
① 匹配的兩個球不能在一個盒子內。
② 2號匹配的球與1號球在一個盒子裏。
③ A號和2號球在一個盒子裏。
④ B匹配的球和C號球在一個盒子裏。
⑤ 3號匹配的球與A號匹配的球在一個盒子裏。
⑥ 4號是A或B號球的匹配球。
⑦ D號與1號或2號球匹配。
請寫出這四對球匹配的情況。
問題解答：
1.枚舉8種情況都想到了，對着7個條件一個一個試，發現都可以，但結果只有一個，問題出在哪？忘記每兩個球裝一盒，分裝4盒，不符合提交的，肯定有一個球在兩個盒。
答案：
ABCD
4312
2.第四屆(NOIP1998)
問題：
1．已知一個數列U1，U2，U3，…，UN，… 往往可以找到一個最小的K值和K個數a1，a2，…,an使得數列從某項開始都滿足：
UN+K=a1UN+K-1+a2UN+K-2+……+akUN (A)
例如對斐波拉契數列1，1，2，3，5，…可以發現：當K=2，a1=1，a2=1時，從第3項起（即N>=1）都滿足Un+2 =Un+1+Un。試對數列13，23，33，…，n3,…求K和a1,a2, …,aK使得（A）式成立。
2．給出一棵二叉樹的中序遍歷：DBGEACHFI 與後序遍歷：DGEBHIFCA 畫出此二叉樹。
3．用鄰接矩陣表示下面的無向圖：
問題解答：
1.受http://blog.sina.com.cn/s/blog_6cd65f450101cr8t.html啓發：
k=2
3^3=a1*1^3+a2*2^3
4^3=a1*2^3+a2*3^3
解得；a2=152/37，非整數捨棄。
k=3
4^3=a1*1^3+a2*2^3+a3*3^3
5^3=a1*2^3+a2*3^3+a3*4^3
6^3=a1*3^3+a2*4^3+a3*5^3
實在受不了上面的計算，求助高人，一看寫法完全就是專業級別的，自嘆不如。目前爲止，除了本文，其它地方搜不到同類解法。具體如下：
嘗試：K=2
(n+2)^3=a*(n+1)^3+b*n^3
n^3+6*n^2+12*n+8=(a+b)*n^3+3*a*n^2+3*a*n+a
等式兩邊對應係數相等，以常數項爲例，a=8，但帶入其它部分，顯然不對。
發現左邊只有4項，三次方，二次方，一次方，零次方。故猜測至少有4個變量。
K=4，a,b,c,d
(n+4)^3=a*(n+3)^3+b*(n+2)^3+c*(n+1)^3+d*n^3
n^3+12*n^2+48*n+64=(a+b+c+d)*n^3+(9*a+6*b+3*c)*n^2+(27*a+12*b+3*c)*n+(27*a+8*b+c)
等式兩邊對應係數相等
a+b+c+d=1
9*a+6*b+3*c=12
27*a+12*b+3*c=48
27*a+8*b+c=64
解得：
a=4
b=-6
c=4
d=-1
答案：a1=4,a2=-6(網上此答案是6，錯誤),a3=4,a4=-1.
2.
(來自《算法競賽入門經典》P155)
用遞歸定義 二叉樹T 的先序遍歷、中序遍歷、後序遍歷：
先序遍歷 PreOrder(T)=T的根節點+PreOrder(T的左子樹)+PreOrder(T的右子樹)
中序遍歷 InOrder(T)=InOrder(T的左子樹)+T的根節點+InOrder(T的右子樹)
後序遍歷 PostOrder(T)=PostOrder(T的左子樹)+PostOrder(T的右子樹)+T的根節點
思考過程如下：
左 右 根
D G E B|H I F C|A
左 根 右
D B G E|A|C H F I
左右 根
D |G E|B
左根右
D| B| G E
左根
G|E
左根
G|E
右根
H I F|C
根右
C|H F I
左右根
H|I|F
左根右
H|F|I
答案：
3.
該題還是容易看走眼的。小細節容易出錯。
本人答案：
參考答案：
本人寫法能得分嗎？？？
3.第五屆(NOIP1999)
問題：
1.將Ln定義爲求在一個平面中用n條直線所能確定的最大區域數目。例如：當n=1時，L1=2,進一步考慮，用n條折成角的直線（角度任意），放在平面上，能確定的最大區域數目Zn是多少？例如：當n=1時，Z1=2（如下圖所示）
當給出n後，請寫出以下的表達式：
Ln = _____________
Zn = _______________
問題解答：
1.Ln思考過程如圖所示：
n=1,2,3都想到，圖也畫出，但缺乏信心，沒再往下想，掃了一眼網上提示，堅定信心，繼續往下做，
純數學：
L(2)=L(1)+2
L(3)=L(2)+3
L(4)=L(3)+4
......
L(n)=L(n-1)+n
公式推導如下：
L(n)=L(n-1)+n
L(n)=L(n-2)+n-1+n
L(n)=L(n-3)+n-2+n-1+n
......
L(n)=L(1)+2+3+......+n-2+n-1+n
L(1)=2
L(n)=1+1+2+3+......+n-2+n-1+n
L(n)=1+(1+n)*n/2
答案:Ln=1+(1+n)*n/2
Zn思考過程如圖所示(考試中要將n=2,n=3畫對都是很困難的，更別說推導公式了)：
硬着頭皮，畫出上面三幅圖，n=4已無能爲力，參考網絡n=4，Z4=29。
純數學推導：
Z(1)=2
Z(2)=7
Z(3)=16
Z(4)=29
Z(2)=Z(1)+5
Z(3)=Z(2)+5+4
Z(4)=Z(3)+5+4*2
......
Z(n)=Z(n-1)+4*(n-2)+5
Z(n)=Z(n-1)+4*(n-2)+5
Z(n)=Z(n-2)+4*(n-3)+5+4*(n-2)+5
Z(n)=Z(n-3)+4*(n-4)+5+4*(n-3)+5+4*(n-2)+5
......
Z(n)=Z(1)+4*(1-1)+5+......+4*(n-3)+5+4*(n-2)+5
Z(n)=2+(5+4*(n-2)+5)*(n-1)/2
Z(n)=2+(2*n+1)*(n-1)
Z(n)=2*n^2-n+1
答案：Zn=2*n^2-n+1
2006-12-12