前言：此問題是著名的《數據結構與算法分析》第二章算法導論的第一個例子，用來闡釋算法性能有優劣之分。當輸入量的規模在很小的量級，只要問題能得到解決便已達到目的，伴隨解決問題所花費的時間空間顯得微乎其微。而當輸入量的規模極其龐大，成百上千萬時，算法性能的好壞便顯得尤爲重要，在問題解決的同時，壞算法花費幾個月幾年的時間，並且花費了電腦所有的內存，好算法在幾秒內解決問題。這就是算法性能優劣的重要性的體現。在下面的例子中舉出四種解法，所花費的時間由長到短，可以直觀的展示好壞算法的優劣之處。
問題描述：給定整數A1，A2,...,AN（可能有負數），求
例：輸入-2，11，-4，13，-5，-2，答案爲20（從A2到A4）。
解法1：枚舉法O（n3）
當沒有思路時，邏輯最簡單也是最花時間的方法就是枚舉法。解體關鍵是“最大”和“子序列”，“最大”意味着列舉所有的序列情況依次和人爲設置的MaxSum比較，比它大則將值賦給MaxSum,最終得到的MaxSum就是所有情況中最大的。“子序列”是給定數組中x個連續的數組成的序列，x取值範圍從1到N。解法一，使用了三層for循環來枚舉，則時間複雜度爲O（n3），i，j爲子序列的左右界，ThisSum是當前子序列的和。ThisSum=A[i]+...+A[j]。k是爲了從i加到j的一個局部變量。
解法二：枚舉法改良版O（n2）
，這樣就能省略一個for循環來降低時間複雜度。
解法三：枚舉法終極版O（n）
由於子序列的左右界 i，j是不固定的，在解法一中，使用雙層for循環枚舉所有 i，j情況，每種情況的 i，j又使用for循環來計算子序列和，一共用了三層循環。在解法二中，用了for循環枚舉子序列左界 i的情況，又使用一層for循環列舉 j的所有情況下的最大序列和。而解法三中，只使用了一次for循環遍歷了N個元素，設置ThisSum表示當前的子序列和，每經歷一個元素便加進ThisSum，更新後的ThisSum與MaxSum比較，比他大則賦值，否則，如果比 0 小，則將ThisSum=0。本算法有許多好處：①時間複雜度只有O(n)，基本上是最省時的算法。②它只對數據進行一次掃描，一旦A[i]被讀入並被處理，它就不再需要被記憶。因此，如果數組在磁盤或磁帶上，它就可以被順序讀入，在主存中不必存儲數組的任何部分。③在任意時刻，算法都能對它已經讀入的數據給出子序列問題的正確答案，稱爲聯機算法。
解法四：遞推分治算法O(nlog（n）)
解法四使用了一種和前三種都不一樣的思想，也是算法分析中常用的兩種思想“遞推”和“分治”。對於N個元素的數組，將其分爲兩部分，則最大子序列和則是左部分的最大子序列和MaxLeftSum，右部分最大子序列和MaxRightSum，包含中間元素的最大子序列和MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum，這三類中的最大值。6-7行計算左右兩部分的最大子序列和，利用遞推的方法。8-17行計算包含中間元素的最大子序列和，使用了兩個for循環時間單位爲O(n)。最終，時間複雜度爲O(nlog(n))。對於帶log的時間複雜度的分析，《數據結構與算法分析》這本書後面又舉了三個例子來說明，後面一篇文章會進行闡述。
結語：作者在本題解法結尾說了一句話：“僅需要常量空間並以限行時間運行的在線算法幾乎是完美的算法”，就是解法三。