簡介
本文簡要介紹數據結構 堆 的概念並提供了實現源碼: CHeapTree類。CHeapTree類的實現是基於一個自動增長的數組。
什麼是堆
堆是一種特殊的二叉完全樹。堆的一個主要特點是它以一定的偏序（a partial order）來保存所有節點[譯者注：此處的偏序是指不完全的排序，堆只需要滿足父節點大於兩個子節點，而子節點之間沒有要求]。作爲一顆完全樹，一層中的節點是從左到右填滿的。如果一個節點沒有左兒子，那麼它一定沒有右兒子。並且在第h層中如果存在節點，那麼第h-1層必須是填滿的。
以下是堆的正式定義（摘自Computer Algorithms by S. Baase and A. Van Gelder）：
一個二叉樹V是一個堆，當且僅當它滿足以下條件：
- V從根節點至h-1層是完全樹
- 所有的葉子節點只存在於h與h-1層上
- 所有到達h層葉子節點的路勁都在到達h-1層葉子節點路徑的左側
堆有兩種：最大堆和最小堆。最小堆中每個節點的優先級小於或者等於它的子節點；最大堆則相反，每個節點的優先級都大於或者等於它的子節點。
圖示最大堆（左）和最小堆（右）：
實現細節
CHeapTree類通過一個數組，從上至下、從左至右地保存樹中的節點來實現堆。因此，上述圖示中的最大堆就可以表示爲10,9,8,6,1,5。在這種表示方式中，第j個節點的子節點和父節點的表達如下（假設起始索引值是0）：
- 左子節點 = j*2-1
- 右子節點 = j*2 = 左子節點+1
- 父節點 = （j-1）/ 2
如果索引值越界，則該節點不存在。
代價
建堆過程中的比較次數：O(n)
刪除堆的比較次數：2*n*lg(n)[譯者注：刪除一個元素的比較次數爲2*lg[n]，所以要刪除所有元素需要n*2*lg(n)]
堆排序的平均時間複雜度是n*lg(n)
CHeapTree declaration（實現細節省略）
template <class TID, class TDATA>
class CHeapTree
{
struct _NODE {
TID id;
TDATA data;
};
_NODE *m_data;
public:
CHeapTree(int nInitMax = 100);
~CHeapTree();
bool IsEmpty() const { return m_nSize == 0; }
int GetSize() const { return m_nSize; }
void Insert(const TID &id, const TDATA &data);
bool RemoveTop();
bool RemoveAll();
bool GetTopID(TID *pid) const;
bool GetTopData(TDATA *pdata) const;
bool GetData(const TID &id, TDATA *pdata) const;
bool ResetData(const TID &id, const TDATA &data);
private:
void _ReformatHeap(int iRoot);
};CHeapTree類實現了堆的基本操作。每個節點中排序基準的數據類型是TDATA類型。所以，如果TDATA是一種用戶自定義的數據類型，需要實現<,=,>的運算符重載，即該類型的比較邏輯需由用戶給出。TID是用來唯一表示一個節點的值。
默認情況下，CHeapTree是一個最小堆即TDATA中最小值具有最高的排序優先權。如果需要一個最大堆，將TDATA類型的比較運算符的邏輯倒置即可。
如何使用
使用該CHeapTree類很簡單，可以如下所示：
// int=id, float=priority [as less as better]
CHeapTree<int, float> h;
h.Insert(0, 0.1f);
h.Insert(1, 0.2f);
h.Insert(2, 0.15f);
h.Insert(3, 0.3f);
h.Insert(4, 0.21f);
h.ResetData(3, 0.19f);
// The order should be [0, 2, 3, 1, 4]
while (!h.IsEmpty()) {
int top;
h.GetTopID(&top);
float data;
h.GetTopData(&data);
cout << "(" << top << " : " << data << ")/n";
h.RemoveTop();
}