高斯-克呂格投影與UTM投影
高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影與UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用橫軸墨卡託投影）都是橫軸墨卡託投影的變種，目前一些國外的軟件或國外進口儀器的配套軟件往往不支持高斯-克呂格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影當作高斯-克呂格投影的現象。從投影幾何方式看，高斯-克呂格投影是“等角橫切圓柱投影”，投影后中央經線保持長度不變，即比例係數爲1；UTM投影是“等角橫軸割圓柱投影”，圓柱割地球於南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條割線上沒有變形，中央經線上長度比0.9996。從計算結果看，兩者主要差別在比例因子上，高斯-克呂格投影中央經線上的比例係數爲1，
UTM投影爲0.9996，高斯-克呂格投影與UTM投影可近似採用X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996* Y[高斯]，進行座標轉換（注意：如座標縱軸西移了500000米，轉換時必須將Y值減去500000乘上比例因子後再加500000）。從分帶方式看，兩者的分帶起點不同，高斯-克呂格投影自0度子午線起每隔經差6度自西向東分帶，第1帶的中央經度爲3°；UTM投影自西經180°起每隔經差6度自西向東分帶，第1帶的中央經度爲-177°，因此高斯-克呂格投影的第1帶是UTM的第31帶。此外，兩投影的東僞偏移都是500公里，高斯-克呂格投影北僞偏移爲零，UTM北半球投影北僞偏移爲零，南半球則爲10000公里。
高斯-克呂格投影與UTM投影座標系
高斯- 克呂格投影與UTM投影是按分帶方法各自進行投影，故各帶座標成獨立系統。以中央經線（L0）投影爲縱軸X，赤道投影爲橫軸Y，兩軸交點即爲各帶的座標原點。爲了避免橫座標出現負值，高斯- 克呂格投影與UTM北半球投影中規定將座標縱軸西移500公里當作起始軸，而UTM南半球投影除了將縱軸西移500公里外，橫軸南移10000公里。由於高斯-克呂格投影與UTM投影每一個投影帶的座標都是對本帶座標原點的相對值，所以各帶的座標完全相同，爲了區別某一座標系統屬於哪一帶，通常在橫軸座標前加上帶號，如(4231898m，21655933m)，其中21即爲帶號。
地球橢球體(Ellipsoid)、大地基準面(Datum)及地圖投影(Projection)三者的基本概念
地球橢球體(Ellipsoid)
衆所周知我們的地球表面是一個凸凹不平的表面，而對於地球測量而言，地表是一個無法用數學公式表達的曲面，這樣的曲面不能作爲測量和製圖的基準面。假想一個扁率極小的橢圓，繞大地球體短軸旋轉所形成的規則橢球體稱之爲地球橢球體。地球橢球體表面是一個規則的數學表面，可以用數學公式表達，所以在測量和製圖中就用它替代地球的自然表面。因此就有了地球橢球體的概念。
地球橢球體有長半徑和短半徑之分，長半徑(a)即赤道半徑，短半徑(b)即極半徑。f=（a-b）/a爲橢球體的扁率，表示橢球體的扁平程度。由此可見，地球橢球體的形狀和大小取決於a、b、f
。因此，a、b、f被稱爲地球橢球體的三要素。
對地球橢球體而言，其圍繞旋轉的軸叫地軸。地軸的北端稱爲地球的北極，南端稱爲南極；過地心與地軸垂直的平面與橢球面的交線是一個圓，這就是地球的赤道；過英國格林威治天文臺舊址和地軸的平面與橢球面的交線稱爲本初子午線。以地球的北極、南極、赤道和本初子午線等作爲基本要素，即可構成地球橢球面的地理座標系統(A
geographic coordinate system (GCS) uses athreedimensional spherical surface to define locations on the earth.A GCSincludes an angular unit of measure, a prime meridian,
and a datum (based on a spheroid).)。可以看出地理座標系統是球面座標系統，以經度/維度（通常以十進制度或度分秒(DMS)的形式）來表示地面點位的位置。
地理座標系統以本初子午線爲基準（向東，向西各分了1800）之東爲東經其值爲正，之西爲西經其值爲負；以赤道爲基準（向南、向北各分了900）之北爲北緯其值爲正，之南爲南緯其值爲負。
大地基準面（Geodetic datum）
大地基準面（Geodeticdatum），設計用爲最密合部份或全部大地水準面的數學模式。它由橢球體本身及橢球體和地表上一點視爲原點間之關係來定義。此關係能以 6個量來定義，通常（但非必然）是大地緯度、大地經度、原點高度、原點垂線偏差之兩分量及原點至某點的大地方位角。
讓我們先拋開測繪學上這個晦澀難懂的概念，看看GIS系統中的基準面是如何定義的，GIS中的基準面通過當地基準面向WGS1984的轉換7參數來定義，轉換通過相似變換方法實現，具體算法可參考科學出版社1999年出版的《城市地理信息系統標準化指南》第76至86頁。假設Xg、Yg、Zg表示WGS84地心座標系的三座標軸，Xt、Yt、Zt表示當地座標系的三座標軸，那麼自定義基準面的7參數分別爲：三個平移參數ΔX、ΔY、ΔZ表示兩座標原點的平移值；三個旋轉參數εx、εy、εz表示當地座標系旋轉至與地心座標系平行時，分別繞Xt、Yt、Zt的旋轉角；最後是比例校正因子，用於調整橢球大小。
那麼現在讓我們把地球橢球體和基準面結合起來看，在此我們把地球比做是“馬鈴薯”，表面凸凹不平，而地球橢球體就好比一個“鴨蛋”，那麼按照我們前面的定義，基準面就定義了怎樣拿這個“鴨蛋”去逼近“馬鈴薯”某一個區域的表面，X、Y、Z軸進行一定的偏移，並各自旋轉一定的角度，大小不適當的時候就縮放一下“鴨蛋”，那麼通過如上的處理必定可以達到很好的逼近地球某一區域的表面。
因此，從這一點上也可以很好的理解，每個國家或地區均有各自的基準面，我們通常稱謂的北京54座標系、西安80座標系實際上指的是我國的兩個大地基準面。我國參照前蘇聯從1953年起採用克拉索夫斯基(Krassovsky)橢球體建立了我國的北京54座標系，1978年採用國際大地測量協會推薦的1975地球橢球體（IAG75）建立了我國新的大地座標系--西安80座標系，目前大地測量基本上仍以北京54座標系作爲參照，北京54與西安80座標之間的轉換可查閱國家測繪局公佈的對照表。WGS1984基準面採用WGS84橢球體，它是一地心座標系，即以地心作爲橢球體中心，目前GPS測量數據多以WGS1984爲基準。
克拉索夫斯基(Krassovsky)、1975地球橢球體（IAG75）、WGS1984橢球體的參數可以參考常見的地球橢球體數據表。
橢球體與基準面之間的關係是一對多的關係，也就是基準面是在橢球體基礎上建立的，但橢球體不能代表基準面，同樣的橢球體能定義不同的基準面。
投影座標系統（Projected Coordinate Systems ）
地球橢球體表面也是個曲面，而我們日常生活中的地圖及量測空間通常是二維平面，因此在地圖製圖和線性量測時首先要考慮把曲面轉化成平面。由於球面上任何一點的位置是用地理座標（λ，φ）表示的，而平面上的點的位置是用直角座標（χ，у）或極座標（r， ）表示的，所以要想將地球表面上的點轉移到平面上，必須採用一定的方法來確定地理座標與平面直角座標或極座標之間的關係。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數關係的數學方法，就是地圖投影方法。
接下來首先讓我們來看看ArcGIS產品中對於北京54投影座標系統的定義參數：
Projection:Gauss_Kruger
Parameters:
False_Easting: 500000.000000
False_Northing: 0.000000
Central_Meridian: 117.000000
Scale_Factor: 1.000000
Latitude_Of_Origin: 0.000000
Linear Unit: Meter (1.000000)
Geographic Coordinate System:
Name: GCS_Beijing_1954
Alias:
Abbreviation:
Remarks:
Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)
Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000)
Datum: D_Beijing_1954
Spheroid: Krasovsky_1940
Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000
Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000
Inverse Flattening: 298.300000000000010000
從參數中可以看出，每一個投影座標系統都必定會有GeographicCoordinate System（地理座標系統）。那麼我們從這一角度上解釋一下投影和投影所需要的必要條件：將球面座標轉化爲平面座標的過程便是投影過程；投影所需要的必要條件是：第一、任何一種投影都必須基於一個橢球（地球橢球體），第二、將球面座標轉換爲平面座標的過程（投影算法）。簡單的說投影座標系是地理座標系+投影過程。
讓我們從透視法（地圖投影方法的一種）角度來直觀的理解投影，圖2。
幾何透視法是利用透視的關係，將地球體面上的點投影到投影面（藉助的幾何面）上的一種投影方法。如假設地球按比例縮小成一個透明的地球儀般的球體，在其球心或球面、球外安置一個光源，將球面上的經緯線投影到球外的一個投影平面上。
投影既然是一種數學變換方法，那麼任何一種投影都存在一定的變形，因此可以按照變形性質將投影方法如下分類：等角投影（Conformal Projection） 、 等積投影（Equal Area Projection）、等距投影（Equidistant Projection）、等方位投影（True-directionProjection）四種。每種投影根據其名稱就可以知道其方法保證了數據的那些幾何屬性，在實際應用過程中應根據需求來選取某種投影。
如果按照投影的構成方法分類又可分爲方位、圓柱、圓錐投影三種，在上述三種投影中由於幾何面與球面的關係位置不同，又分爲正軸、橫軸和斜軸三種。
接下來我們來看看我們國家通常採用的投影——高斯—克呂格（Gauss-Kruger)投影，是一種“等角橫切圓柱投影”。德國數學家、物理學家、天文學家高斯（CarlFriedrich Gauss，1777一 1855）於十九世紀二十年代擬定，後經德國大地測量學家克呂格（JohannesKruger，1857～1928）於 1912年對投影公式加以補充，故名。設想用一個圓柱橫切於球面上投影帶的中央經線，按照投影帶中央經線投影爲直線且長度不變和赤道投影爲直線的條件，將中央經線兩側一定經差範圍內的球面正形投影於圓柱面。然後將圓柱面沿過南北極的母線剪開展平，即獲高斯-克呂格投影平面。高斯—克呂格投影后，除中央經線和赤道爲直線外，其他經線均爲對稱於中央經線的曲線。高斯—克呂格投影沒有角度變形，在長度和麪積上變形也很小，中央經線無變形，自中央經線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大處在投影帶內赤道的兩端。按一定經差將地球橢球面劃分成若干投影帶,這是高斯投影中限制長度變形的最有效方法。
分帶時既要控制長度變形使其不大於測圖誤差，又要使帶數不致過多以減少換帶計算工作，據此原則將地球橢球面沿子午線劃分成經差相等的瓜瓣形地帶,以便分帶投影。通常按經差6度或3度分爲六度帶或三度帶。六度帶自 0度子午線起每隔經差6度自西向東分帶，帶號依次編爲第 1、2…60帶。三度帶是在六度帶的基礎上分成的，它的中央子午線與六度帶的中央子午線和分帶子午線重合，即自 1.5度子午線起每隔經差3度自西向東分帶，帶號依次編爲三度帶第 1、2…120帶。我國的經度範圍西起73°東至135°，可分成六度帶十一個，各帶中央經線依次爲75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度帶二十二個。
我國大於等於50萬的大中比例尺地形圖多采用六度帶高斯—克呂格投影，三度帶高斯—克呂格投影多用於大比例尺1：1萬測圖，如城建座標多采用三度帶的高斯—克呂格投影。高斯—克呂格投影按分帶方法各自進行投影，故各帶座標成獨立系統。以中央經線（L0）投影爲縱軸X, 赤道投影爲橫軸Y，兩軸交點即爲各帶的座標原點。爲了避免橫座標出現負值，高斯—克呂格投影北半球投影中規定將座標縱軸西移500公里當作起始軸。由於高斯—克呂格投影每一個投影帶的座標都是對本帶座標原點的相對值，所以各帶的座標完全相同，爲了區別某一座標系統屬於哪一帶，通常在橫軸座標前加上帶號，如(4231898m,21655933m)，其中21即爲帶號。高斯—克呂格投影及分帶示意圖如下：
我們再來看看ArcGIS中對我們國家經常採用北京54和西安80座標系統是怎麼樣描述的，在ArcMap或是ArcCatalog中選擇系統預定義的北京54和西安80座標系統。
在${ArcGISHome}\CoordinateSystems\Coordinate Systems\Projected Coordinate Systems\Gauss Kruger\Beijing1954目錄中，我們可以看到四種不同的命名方式：
Beijing 1954 3 Degree GK CM 75E.prj
Beijing 1954 3 Degree GK Zone 25.prj
Beijing 1954 GK Zone 13.prj
Beijing 1954 GK Zone 13N.prj
對它們的說明分別如下：
三度分帶法的北京54座標系，中央經線在東75度的分帶座標，橫座標前不加帶號
三度分帶法的北京54座標系，中央經線在東75度的分帶座標，橫座標前加帶號
六度分帶法的北京54座標系，分帶號爲13，橫座標前加帶號
六度分帶法的北京54座標系，分帶號爲13，橫座標前不加帶號
在Coordinate Systems\Projected CoordinateSystems\Gauss Kruger\Xian 1980目錄中，文件命名方式又有所變化：
Xian 1980 3 Degree GK CM 75E.prj
Xian 1980 3 Degree GK Zone 25.prj
Xian 1980 GK CM 75E.prj
Xian 1980 GK Zone 13.prj
西安80座標文件的命名方式、含義和北京54前兩個座標相同，但沒有出現“帶號+N”這種形式，爲什麼沒有采用統一的命名方式？讓人看了的確有些費解，大家在應用過程中需要特別注意一下。