算法學習（3）——堆排序

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轉載自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3602162.html

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堆排序介紹

堆排序(Heap Sort)是指利用堆這種數據結構所設計的一種排序算法。
因此，學習堆排序之前，有必要了解堆！若讀者不熟悉堆，建議先了解堆(建議可以通過二叉堆，左傾堆，斜堆，二項堆或斐波那契堆等文章進行了解)，然後再來學習本章。

我們知道，堆分爲"最大堆"和"最小堆"。最大堆通常被用來進行"升序"排序，而最小堆通常被用來進行"降序"排序。
鑑於最大堆和最小堆是對稱關係，理解其中一種即可。本文將對最大堆實現的升序排序進行詳細說明。

 

最大堆進行升序排序的基本思想：
① 初始化堆：將數列a[1...n]構造成最大堆。
② 交換數據：將a[1]和a[n]交換，使a[n]是a[1...n]中的最大值；然後將a[1...n-1]重新調整爲最大堆。 接着，將a[1]和a[n-1]交換，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然後將a[1...n-2]重新調整爲最大值。 依次類推，直到整個數列都是有序的。

 

下面，通過圖文來解析堆排序的實現過程。注意實現中用到了"數組實現的二叉堆的性質"。
在第一個元素的索引爲 0 的情形中：
性質一：索引爲i的左孩子的索引是 (2*i+1);
性質二：索引爲i的左孩子的索引是 (2*i+2);
性質三：索引爲i的父結點的索引是 floor((i-1)/2);

例如，對於最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}而言：索引爲0的左孩子的所有是1；索引爲0的右孩子是2；索引爲8的父節點是3。

下面演示heap_sort_asc(a, n)對a={20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}, n=11進行堆排序過程。下面是數組a對應的初始化結構：

1、初始化堆

在堆排序算法中，首先要將待排序的數組轉化成二叉堆。
下面演示將數組{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}轉換爲最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}的步驟。

 

1.1 i=11/2-1，即i=4

上面是maxheap_down(a, 4, 9)調整過程。maxheap_down(a, 4, 9)的作用是將a[4...9]進行下調；a[4]的左孩子是a[9]，右孩子是a[10]。調整時，選擇左右孩子中較大的一個(即a[10])和a[4]交換。

 

1.2 i=3

上面是maxheap_down(a, 3, 9)調整過程。maxheap_down(a, 3, 9)的作用是將a[3...9]進行下調；a[3]的左孩子是a[7]，右孩子是a[8]。調整時，選擇左右孩子中較大的一個(即a[8])和a[4]交換。

 

1.3 i=2

上面是maxheap_down(a, 2, 9)調整過程。maxheap_down(a, 2, 9)的作用是將a[2...9]進行下調；a[2]的左孩子是a[5]，右孩子是a[6]。調整時，選擇左右孩子中較大的一個(即a[5])和a[2]交換。

 

1.4 i=1

上面是maxheap_down(a, 1, 9)調整過程。maxheap_down(a, 1, 9)的作用是將a[1...9]進行下調；a[1]的左孩子是a[3]，右孩子是a[4]。調整時，選擇左右孩子中較大的一個(即a[3])和a[1]交換。交換之後，a[3]爲30，它比它的右孩子a[8]要大，接着，再將它們交換。

 

1.5 i=0

上面是maxheap_down(a, 0, 9)調整過程。maxheap_down(a, 0, 9)的作用是將a[0...9]進行下調；a[0]的左孩子是a[1]，右孩子是a[2]。調整時，選擇左右孩子中較大的一個(即a[2])和a[0]交換。交換之後，a[2]爲20，它比它的左右孩子要大，選擇較大的孩子(即左孩子)和a[2]交換。

調整完畢，就得到了最大堆。此時，數組{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}也就變成了{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}。

 

2、交換數據

在將數組轉換成最大堆之後，接着要進行交換數據，從而使數組成爲一個真正的有序數組。
交換數據部分相對比較簡單，下面僅僅給出將最大值放在數組末尾的示意圖。

上面是當n=10時，交換數據的示意圖。
當n=10時，首先交換a[0]和a[10]，使得a[10]是a[0...10]之間的最大值；然後，調整a[0...9]使它稱爲最大堆。交換之後：a[10]是有序的！
當n=9時， 首先交換a[0]和a[9]，使得a[9]是a[0...9]之間的最大值；然後，調整a[0...8]使它稱爲最大堆。交換之後：a[9...10]是有序的！
...
依此類推，直到a[0...10]是有序的。

3、C++代碼實現

/* 
 * (最大)堆的向下調整算法
 *
 * 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *     其中，N爲數組下標索引值，如數組中第1個數對應的N爲0。
 *
 * 參數說明：
 *     a -- 待排序的數組
 *     start -- 被下調節點的起始位置(一般爲0，表示從第1個開始)
 *     end   -- 截至範圍(一般爲數組中最後一個元素的索引)
 */
void maxheap_down(int a[], int start, int end)
{
    int c = start;            // 當前(current)節點的位置
    int l = 2*c + 1;        // 左(left)孩子的位置
    int tmp = a[c];            // 當前(current)節點的大小
    for (; l <= end; c=l,l=2*l+1)
    {
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if ( l < end && a[l] < a[l+1])
            l++;        // 左右兩孩子中選擇較大者，即m_heap[l+1]
        if (tmp >= a[l])
            break;        // 調整結束
        else            // 交換值
        {
            a[c] = a[l];
            a[l]= tmp;
        }
    }
}

/*
 * 堆排序(從小到大)
 *
 * 參數說明：
 *     a -- 待排序的數組
 *     n -- 數組的長度
 */
void heap_sort_asc(int a[], int n)
{
    int i;

    // 從(n/2-1) --> 0逐次遍歷。遍歷之後，得到的數組實際上是一個(最大)二叉堆。
    for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        maxheap_down(a, i, n-1);

    // 從最後一個元素開始對序列進行調整，不斷的縮小調整的範圍直到第一個元素
    for (i = n - 1; i > 0; i--)
    {
        // 交換a[0]和a[i]。交換後，a[i]是a[0...i]中最大的。
        swap(a[0], a[i]);
        // 調整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一個最大堆。
        // 即，保證a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
        maxheap_down(a, 0, i-1);
    }
}