概述
ANC指Active Noise Control，主動降噪。基本原理是降噪系統產生與外界噪音相等的反向聲波，將噪音中和。圖1是feedforward式主動降噪耳機的示意圖。ANC芯片放置在耳機內。Ref mic（reference microphone）在耳機耳罩上，採集環境噪音。Error mic（Error Microphone）在耳機內，採集降噪處理後的殘差噪聲。Speaker播放ANC處理後的anti-noise。
圖1
原理
圖2
圖2是ANC系統的原理圖，一共三層，用虛線分隔。最上一層primary path是從ref mic到error mic的聲學通道，響應函數用P(z)P(z)表示；中間一層是模擬通道，其中secondary path是adaptive filter輸出到返回殘差的通路，包括DAC、reconstruction filter、power amplifier、speaker播放、再採集、pre-amplifier、anti-aliasing filter、ADC；最下一層是數字通路，其中adaptive filter不斷調整濾波器權係數來削減殘差，直到收斂。最常用的方案是用FIR濾波器結合LMS算法來實現adaptive filter。簡化圖2，得到圖3。
圖3
先簡要說幾句adaptive filter和LMS（Least mean square）算法的原理，再說圖3。如圖4，給定輸入xx和desired output dd，adaptive filter每次迭代會更新系數，使其輸出yy與dd之差越來越小，直到殘差足夠接近0且收斂。LMS是adaptive filter的一種更新算法。LMS的目標函數是瞬時誤差的平方e2(n)=(d(n)−y(n))2e2(n)=(d(n)−y(n))2，爲了minimize目標函數，對其應用梯度下降就得到算法的更新公式。（這種利用gradient descent來最小化某個objective，從而得到待求參數的更新公式的算法思想非常常見，比如linear regression。）採用FIR濾波器的LMS算法的更新公式爲：w(n+1)=w(n)+μe(n)x(n)w(n+1)=w(n)+μe(n)x(n) ，其中μμ爲step size。如果隨着迭代進行調整μμ的大小，就是變步長的LMS算法。
圖4
再來說圖3。這裏adaptive filter輸出後還要經過S(z)S(z)纔去和desire output比較，S(z)S(z)會引起instability，用文獻的話說，“the error signal is not correctly ‘aligned’ in time with the reference signal”，破壞了LMS的收斂性。（這裏還沒弄懂什麼意思T__T）一種有效的方法是FXLMS（Filtered-X LMS），也就讓x(n)經過Sˆ(z)S^(z)再輸入給LMS 模塊， Sˆ(z)S^(z)是S(z)S(z)的估計。FXLMS的objective：
e2(n)=(d(n)−s(n)∗[wT(n)x(n)])2,e2(n)=(d(n)−s(n)∗[wT(n)x(n)])2,
所以gradient=−2e(n)s(n)∗x(n)−2e(n)s(n)∗x(n)，其中s(n)s(n)未知，用其estimate近似，所以FXLMS的更新公式是
w(n+1)=w(n)+μe(n)x′(n),w(n+1)=w(n)+μe(n)x′(n),
其中x′(n)=sˆ(n)∗x(n)x′(n)=s^(n)∗x(n) 。
當adaptive filter收斂時，E(z)=X(z)P(z)−X(z)W(z)S(z)≈0E(z)=X(z)P(z)−X(z)W(z)S(z)≈0，因此W(z)≈P(z)/S(z)W(z)≈P(z)/S(z)。也就是說，自適應濾波器的權係數是由耳機的primary path和secondary path決定的。耳機的primary path和secondary path相對穩定，所以adaptive filter的權係數也相對穩定。因此爲實現簡單，某些廠家的ANC耳機的權係數在出廠時就確定了。當然這種ANC耳機的聽感體驗明顯不及具有真正自適應意義的ANC耳機，因爲在實際情況下，外部噪聲相對耳機的方向、不同溫度等因素會對耳機的通道響應有影響。
Matlab驗證
寫Matlab代碼，用變步長LMS的adaptive filter，得仿真結果如圖5。在0到2KHz範圍內，利用feedforward ANC消高斯白噪，噪聲衰減平均30dB+。Matlab庫裏的FXLMS是定步長的，效果要差一些。
圖5
Q&A
遇到的困惑寫出來分享一下。
1. ANC爲什麼只針對2kHz以下的低頻噪音？
一方面，耳機的物理隔音方式（被動降噪）可以有效阻擋高頻噪音，沒必要用ANC降高頻噪聲。另一方面，低頻噪聲波長較長，可以承受一定的相位延遲，而高頻噪聲波長短，對相位偏差敏感，因此ANC消高頻噪聲並不理想。
2. 當electronic delay比primary delay大時，算法性能大大下降如何理解？
P(z)延時小，S(z)延時大，比如P(z)=z-1, S(z)=z-2，只有當W(z)=z才能滿足要求，非因果，unreachable。
3. Feedforward ANC、narrow-band feedforward ANC、feedback ANC有什麼區別？
Feedforwad結構有一個ref mic和一個error mic，分別採集外部噪音和內部殘差信號。feedback結構只有一個error mic，由error mic和adaptive filter output生成reference signal。
Broad-band feedforward就是上面所述結構，而narrow-band結構中，noise source會產生某個signal觸發signal generator，signal generator再生成reference signal送給adaptive filter。只適用於消除periodic noise。
Feedback ANC由於只有error mic，用error mic來恢復feedforward結構中ref mic採集的信號，通路不滿足因果約束，因此只消除predictable noise components，即窄帶週期性噪聲。需要注意的是，feedforward如果不滿足因果約束，即electronic delay比主通道acoustic delay長的話，也只能消除窄帶週期性噪聲。
另外還有一種Hybrid ANC的結構，同時包含feedforward和feedback結構，主要的優點是可以節省自適應濾波器的階數。
Reference
主要參照[1]，非常詳細的一篇tutorial review，書[2]詳細推導和說明了[1]中的細節。圖1截自jabra官網，圖2和圖3來自[3]，圖4來自Wikipedia。
[1]: Kuo S M, Morgan D R. Active noise control: a tutorial review[J]. Proceedings of the IEEE, 1999, 87(6):943-973.
[2]: Kuo S M, Morgan D. Active Noise Control Systems: Algorithms and DSP Implementations[M]. John Wiley & Sons, Inc. 1996.
[3]: Kajikawa Y, Gan W S, Kuo S M. Recent advances on active noise control: open issues and innovative applications[J]. Apsipa Transactions on Signal & Information Processing, 2012, 1(2):e3.