矩陣快速冪
\(emmm\)，考試上面見到的，以前聽顏神講過一遍但是沒有聽懂，現在看一下還是比較妙妙的
矩陣乘法
矩陣乘法是什麼？
簡而言之就是
\[c_{ij} = \quad\sum_{k=1}^na_{ik} *b_{kj} \]
舉個簡單的例子
\[
\left\{
\begin{matrix}
14 \\
32 \\
50
\end{matrix}
\right\} =
\left\{
\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right\} * \left\{
\begin{matrix}
1\\
2 \\
3
\end{matrix}
\right\}
\]
真簡單哇!(光速溜
\(emmm\)，這就是矩陣乘法的定義
下面給出詳細代碼
int n;//矩陣大小
void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//簡單定義 +=
struct Matrix
{
int a[n][n];//矩陣
friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定義矩陣類型的乘法
{
Matrix c;//定義新的矩陣用來存儲結果
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));//初始化
for(int i = 0; i < n;i ++)//進行枚舉
for(int j = 0; j < n;j ++)
for(int k = 0; k < n;k ++)
Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod);//相乘
return c;//返回答案矩陣
}
};快速冪
快速冪還算比較簡單了的吧
反正我一開始只是知道快速冪而已
簡單來說，通過二進制位來實現
\(2^0= 2^0\)
\(2^1 = 2^1\)
\(2^2=2^2\)
\(2^3 = 2^2*2\)
\(2^4 =2^4\)
\(2^5 = 2^4*2\)
\(2^6 = 2 ^ 4 * 2 ^ 2\)
\(2^7 = 2^4*2^2*2\)
所以我們可以看出來的是
二進制位上我們現在只有當某一位是１的時候才乘
舉個例子
\[2^{15} =2^{1111} = 2^{1000}*2^{100}*2^{10}*2^{1}=2^8*2^4*2^2*2^1 \]
所以相對來說比較好理解
原來\(O(b)\)複雜度一下降低到了\(O(logb)\)
所以快速冪是一種優化的手段
下面貼上代碼
inline int pow(int a,int b)
{
int r=1,base=a;
while(b)
{
if(b&1) r*=base;//如果當前位是1，那麼直接相乘
base*=base;//不管是什麼數字下一位都需要再乘一次(2的倍數)
b>>=1;//移到下一位
}
return r;//返回結果
}矩陣乘法快速冪
void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//簡單定義+=
struct Matrix
{
int a[n][n];
friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定義矩陣乘法
{
Matrix c;
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
for(int k = 0; k < n; k ++)
Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod);
return c;
}
};
Matrix Qpow(Matrix x, int timer)//矩陣快速冪
{
Matrix base;//定義結果矩陣
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
base.a[i][j] = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++) base.a[i][i] = 1;
for(; timer; timer >>= 1, x = x * x)
if(timer & 1) base = base * x;
return base;
}\(mod\)是一個簡單的模數，考試的時候一般要求取模運算
\(emmm\)可以說是矩陣快速冪的基礎練習題