一次函數的線性迴歸
首先我們回顧一下當迴歸函數爲一次函數的情況
存在訓練樣本矩陣 X ,該矩陣大小爲m*n ,其中m爲樣本數量,n爲特徵數量
此時迴歸方程爲
其中爲係數向量
此時代價函數爲
當代價函數取得最小值時,爲最優解
對進行求導得到
批量梯度下降法
其中爲步長係數,爲步長,不斷迭代上式,當步長變化小於某個值時,認爲得到代價函數的局部最小值。
數學上,梯度方向是函數值下降最爲劇烈的方向。那麼,沿着 J(θ) 的梯度方向走,我們就能接近其最小值,或者極小值,從而接近更高的預測精度。
多項式的線性迴歸
此時迴歸方程爲
代價函數
此時我們可以通過遍歷矩陣來計算該代價函數的導數,但是會感覺到編程複雜
那麼可以像一次函數一樣去用矩陣表示代價函數嗎?
是可以的,我們只需要將視作一個整體就可以了
在一次迴歸中,樣本矩陣 X爲 [1,X] 其中 1 表示該列都爲1
在多項式迴歸中,我們可以將 X 擴展爲 [1,X,X^2,X^3,...,X^n]
此時我們回到了一次迴歸的矩陣運算中
具體程序可參考