奇偶校驗碼和海明碼原理

奇偶校驗：

不管是奇校驗還是偶校驗，監督位都在數據的後面，而且僅一位。如：

信息位	監督位
111001110	1

編碼原理：

信息位 監督位	1110 0110 00	1110 0110 00
奇校驗時	0	1
偶校驗時	1	0

上面的形式是10位數據位+1位監督位。

奇校驗，要保證插入監督碼後”1“的個數爲奇數，其中數據位是不變的，所以監督位置1或0；也就是說，若數據位中”1“的個數是偶數，則監督位爲1；若數據位中”1“的個數是奇數，則監督位爲0。

偶校驗，要保證插入監督碼後”1“的個數爲偶數，其中數據位是不變的，所以監督位置1或0；也就是說，若數據位中”1“的個數是偶數的話，則監督位爲0；若數據位中”1“的個數是奇數，則監督位爲1。
 

公式表示：

設碼組長度爲n，前n-1位信息碼元，第n位爲監督位

在偶校驗時   有：

             則監督位：

在奇校驗時   有：

             則監督位：

其中表示模2和，等同“異或”運算。

奇偶校驗只能發現單個或者奇數個錯誤，而不能校測出偶數個錯誤，因而它的校錯能力不強。

海明碼:

  奇偶校驗只能檢錯，並不能糾錯，因爲一位的監督碼並不足以把錯誤的位置表示出來。海明碼是一種多重（複式）奇偶檢錯系統。監督位的長度並不一定，信息位越長，監督位越長，因爲它還要把錯誤的位置表示出來。

若信息長爲n，信息位數爲k，監督位爲r=n-k。則要求：

或

若有兩個監督位，那麼兩個校正字就有4種可能的組合：

00	無錯
01	第一位出錯
10	第二位出錯
11	第三位出錯

監督位不是放在信息位的後面，也不是連續的。

監督位在上，n是爲整數且。假如四位信息碼爲“1011”，怎麼去求校驗位、、的值。
海明碼也分爲偶校驗海明碼、奇校驗海明碼。下面採用偶校驗舉例。

 對信息碼“1011”進行海明編碼：
第一步：確定校驗碼的個數和位置。

已知：信息位數k=4，由得最小的校驗位數r=3。位置在上。P代表校驗位，D代表信息位，如下：

碼字位置(二進制)	1(0001)	2(0010)	3(0011)	4(0100)	5(0101)	6(0110)	7(0111)
碼位類型
碼值	？	？	1	？	0	1	1

第二步：根據關係式求出每一個校驗位。

負責校驗信息位、、，在偶校驗時有

                         則：=0

負責校驗信息位、、，在偶校驗時有

                         則：=1

負責校驗信息位、、，在偶校驗時有

                         則：=0

對信息碼“1011”進行海明編碼後爲“0110011”。

  在這裏的每一個校驗位該負責哪幾個信息位是有規律的，從上面的表格可以看出來，每一個校驗碼跟其負責的任一信息位的碼字位置進行“與”運算等於1，根據這規律就知道每個校驗位負責的所有信息位。

如： （0001）&（0001）=1     （0001）&（0101）=0

     （0001）&（0110）=1     （0001）&（0111）=1

所以負責的校驗信息位是、、。同理得出、。

以上是發送方的處理過程，在接收方根據下面3個校驗方程對接收到的信息進行奇偶測試：

A==0

B==0

C==0

以A爲最低有效位，可構成二進制數CBA.

若CBA=000，即等式右邊都等於0，說明沒有錯；若CBA=001，說明出錯；若CBA=100,說明出錯。