筆試題記錄（一羣小朋友排隊，每個人都不站在之前的位置，有幾種站法？）

今天碰到的一個題：
一羣小朋友排隊，每個人都不站在之前的位置，有幾種站法？

設n個人符合要求的不同坐法有f(n)種

f(1)=0, f(2)=1

當n=3時，若無限制，則有3!種坐法。須減去坐原位的。
若1人坐原位，另2人不坐原位，則有C(3,1)*f(2)種
若2人坐原位，則第3人必坐原位，有1種
則f(3)=3!-C(3,1)*f(2)-1=6-3-1=2

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當n=4時，若無限制，則有4!種坐法。須減去坐原位的。
若1人坐原位，另3人不坐原位，則有C(4,1)*f(3)種
若2人坐原位，另2人不坐原位，則有C(4,2)*f(2)種
若3人坐原位，則第3人必坐原位，有1種
則f(4)=4!-C(4,1)*f(3)-C(4,2)*f(2)-1=24-8-6-1=9
依此法，
f(5)=5!-C(5,1)*f(4)-C(5,2)*f(3)-C(5,3)*f(2)-1可求
f(6),f(7),……f(k-1)可求

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n=k時，若無限制，則有k!種坐法。須減去坐原位的。
若1人坐原位，則有C(k,1)*f(k-1)種
若2人坐原位，則有C(k,2)*f(k-2)種
……
若k-2人坐原位，則有C(k,k-2)*f(2)種
若k-1人坐原位，則有1種
則f(k)=k!-C(k,1)*f(k-1)-C(k,2)*f(k-2)-……-C(k,k-2)*f(2)-1

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一般地
f(n)=n!-C(n,1)*f(n-1)-C(n,2)*f(n-2)-……-C(n,n-2)*f(2)-1

python中遞歸爲調用自己，且要有最終的終止條件：

def fact_iter(num, product):
    if num == 1:  #終止條件
        return product
    return fact_iter(num - 1, num * product)

所以上述題目代碼爲：