三角學——極座標_1

首先我要知道什麼是笛卡爾座標？如圖：

我們平常使用這個二維平面，就是笛卡爾座標。

如果我們要確定二維平面上的任意一點，只需要給出 x 軸方向上的距離和 y 軸方向上的距離，就可以確定這個點。

現在我們給出這個點：

在笛卡爾座標系中，爲達到這個點，我們需要右移3個單位長度，座標爲3：

上移動4個單位長度，到達藍色這一點：

按照慣例，這就是橫座標，縱座標，稱這個點爲（3，4）：

這是定位二維平面點的其中一種方法。

第二種方法就是，直接向那個點出發：

如何給出這個方向呢?爲什麼稱之爲0°？

可以稱這個角度爲0°，設這個角度爲，給它指出一個方向，說它了 r 個單位長度，它會到達那個點：

現在用另外一種方式來表示。

那一點（3，4）也可以用（r，）來表示，沿  方向移動 r 個基本單位。這樣說有點抽象了。我們來表示一下。

從三角函數入手，其實是運用了勾股定理，能否求出 r 和 ？

r 比較容易求解，因爲有一個直角三角型，x軸爲3，y軸爲4。

根據勾股定理，3的平方 + 4的平方 等於 斜邊的平方，也就是 r 方，也就是 r 等於5。

如何求  ？

現在已知什麼呢？

我們要求  ，看看  的對邊，這下我們回到了三角函數知識。

  的對邊是 4 。領邊同樣已知，是3。這是哪個三角函數呢？是tan 。

tan等於對邊比上領邊。也就是縱座標y等於4 除以 領邊（橫座標）3：

tan=4/3 

爲求解，可以對等號兩邊同時求arctan：

arctan(tan) = arctan4/3

當然正切值的反正切，也就是arctan(tan)等於。

 = arctan4/3

注意：arctan的另一種寫法是，經常表示爲，等同於。

絕大部分人都記不住arctan4/3等於多少度。一般我們使用計算機來計算。得出：53.13°：

 = 53.13°

現在我們知道二維平面那個點可以表示爲：（5，53.13°），這是極座標。

也就是說，從x軸沿逆時針方向轉53.13°，然後移動5個單位長度，就可以得到那個點。這就是極座標的意義。

現在我們來用學習使用一般方法來表示這一邏輯：

我們來畫個圖：

如何轉換 r ？轉換爲極座標？（r , ）

和我們上面做的一樣，設長度 r 和 角度爲 ：

利用勾股定理，x的平方 + y的平方 = 斜邊的平方：

然後求tan，這個角的正切值。tan = 對邊 除以 鄰邊。

如果已知 r 和  ，如何求y?

 r是斜邊，y是對邊。你懂的，要用三角函數表示。

sin等於 對邊 比 斜邊：

 

然後兩邊同時乘以 r ，得到：

我們再使用這個方法來表示 x 的等式：

x是鄰邊，斜邊是r。哪個函數用到鄰邊和斜邊？是的，使用cos 。cos等於鄰邊比斜邊。

然後兩邊同時乘以 r ，得到：

如果得到了由三角恆等式推導出的這個公式， 和   是由三角函數推導出來的。

你們現在有能力可以完成極座標和笛卡爾座標之間的轉換了。

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——請不斷重複練習、練習、練習、再練習。。。