線性代數的本質一+常用Markdown數學公式寫法

先修知識

1. 知識點參考鏈接 : 簡書–MathJax
2. 快速掌握常用數學公式的Markdown寫法

希臘字母$\alpha$ $\gamma$

\alpha ; \gamma

上下標$C_n^2$

C_n^2

矢量$\vec{a}$ $\overrightarrow{xy}$

\vec{a} \overrightarrow{xy} 

希臘字母$\alpha$

上下標$C_n^2$

C_n^2

未知數符號$\mathsf{A}$

\mathsf{A}

分組$10^{10}$

10^{10}

分數$\frac{x}{y}$

\frac{x}{y}

求和$\sum_{i=1}^n{a_i}$

\sum_{i=1}^n{a_i}

極限$\lim_{x \to 0}{x^2}$

\lim_{x\to 0}{x^2}

積分$\int_0^\infty{fxdx}$

\int_0^\infty{fxdx}

開根式$\sqrt[x]{y}$

\sqrt[x]{y}

特殊函數$\sin x$ $\ln x$$\max(A,B,C)$

\sin x$` `$\ln x$` `$\max(A,B,C)

特殊符號

空格$a\ b$ $a\quad b$

a\ b ; a\quad b

矩陣

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}$

\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}

橫省略號：\cdots
豎省略號：\vdots
斜省略號：\ddots

$\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

方程組

$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\\ \end{cases}$

\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3\\
\end{cases}

參考文獻引用

感謝谷歌,簡書,CSDN的資料

感謝[谷歌][1],[簡書][2],[CSDN][3]的資料

[1]:www.google.com
[2]:www.jianshu.com
[3]:www.csdn.cn

什麼是向量

1. 物理視角:向量就是空間中的箭頭

只有長度與方向

2. 計算機視角:向量是有序的數字列表,根據順序定義屬性或抽象含義

對房屋建模,抽象房屋的屬性,如房價和麪積,寫成這種形式$\begin{bmatrix} {m^2}\\{\$}\\\end{bmatrix}$
此時在計算機系學生的眼裏:$\begin{bmatrix} 129\\27000\\\end{bmatrix}$這個列表代表着一套129平方,27000一平m的房子.

3. 計算機學生視角

此時向量不過是列表的一個花俏說法,只不過因爲list.len==2,才稱它是二維向量.

4. 數學系學生視角

就是座標系的變換與運算.

向量通常以原點爲起點,實現向量加法+向量數乘.

例一:$\begin{bmatrix} {13}\\{12}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} {11}\\{7}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {24}\\{19}\\\end{bmatrix}$              例二:
$2*\begin{bmatrix} {5}\\{8}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {10}\\{16}\\\end{bmatrix}$

5. 二維向量

每一個二維向量會給出唯一的平面方向與長度,每一個向量恰好有唯一一對數表示

6. 三維向量

每個三維向量都有一個唯一的一組三元序列對應

7. 向量相加的本質是維度相加

8. 向量的數乘本質是每個維度分量與標量相乘,即方向不變,長度改變(正負)

9. 線性代數爲大數據提供批量處理與可視化的理論依據

大數據們

線性視圖

10. 向量的形成

所有二維向量都是由一組基底($\vec{i},\vec{j}$)的兩個分量拉伸變換而來.

一般取$\vec i$爲x軸的$\vec 1$,取$\vec j$爲y軸的$\vec 1$

所以 向量vector = scalar_1 x basis_1 + scalar_2 x basis_2

11. 任意基底

What if we choose different basis vectors?

我們要知道,正是有了通用的統一的基底,我們才能在世界任何地方把一組數字轉換成一個向量

總結: 向量依賴於基底,基底乘上不同線性標量構成的向量集合稱爲張成的空間.注:標量必須是實數

畫圖

爲畫圖方便,先定義座標原點,再依據向量確定該向量的終點.打點

發現

三元向量保持一個向量不變,只變其中兩個向量,則張成的空間是一個平面

當我們縮放第三個分量時,前兩個分量張成的平面將沿第三個分量的縮放方向來回掃動,從而掃過整個空間

12.Linearly dependent 線性相關

1. 上圖當第三方向量剛好落在前兩個向量組成的平面上,或$(\vec i,\vec j)$兩個向量落在同一條直線上.

2. 此時抽掉其中一個向量也不會影響張成的空間,則稱向量$\vec i$與$\vec j$或向量$\vec k$`與$(\vec i,\vec j)$是線性相關的

13.Linearly independent 線性無關

1. 新添加的向量能給張成的空間帶來新維度
2. 故:向量的基底就是可以張成該空間的所有線性無關向量的集合
3. 所以:向量的一組基底就是張成空間的基底的最小集

14. Linear transformation 線性變換

不死記硬背理解矩陣向量乘法

$\begin{bmatrix} {1}&-3\\{2}&4\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} {5}\\{7}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {(1)(5t'c)+(-3)(7)}\\{(2)(5)+(4)(7)}\\\end{bmatrix}$
上述表達式蘊涵了一種線性變換思想,本質起始就是func()的一種

變換;暗示了我們向量函數應當從空間運動角度理解,本質是如何把向量甲通過與另一向量規則作用變換成乙向量

線性變換定義:

1. 直線在空間變換後仍是直線
2. 原點始終保持固定
3. 典型:保持網格線平行且等距分佈的變換
   如平面直角座標系
4. 定義向量$\vec{x,y}$二維矩陣滿足$\begin{bmatrix} {x}\\{y}\\\end{bmatrix}$如$\begin{bmatrix} {-1}\\{2}\\\end{bmatrix}$就表示$\vec v=-1\vec i+2\vec j$.
   我們發現向量$\vec v$是向量($\vec i,\vec j$)的一個特定的線性組合.看圖可知,我們在只知道$\vec i$與$\vec j$的落腳點的情況下,一定能根據線性組合得到$\vec v$的落腳點

矩陣乘法的意義

任意一組基底,如基底$\vec i$(1,-2)+基底$\vec j$(3,0)組成的矩陣乘以線性組合C = x$\vec i$+y$\vec j$`裏的係數(x,y)的結果是C的值(一個二維向量)

式子爲