同態濾波，網絡上有很多文章提到過這個算法，我們摘取百度的一段文字簡要的說明了該算法的核心： 同態濾波是一種減少低頻增加高頻，從而減少光照變化並銳化邊緣或細節的圖像濾波方法。
關於該算法，網絡上已經有很多資料了，也有很多給出了參考代碼，但是很痛心的是我看到的沒有一個是完全正確的，或多或少都存在瑕疵，有些雖然算法最後的效果是差不多正確的，實際上是和真正的算法是背道而馳的。
我們在這裏只有簡單的語句來描述下該算法的過程。
對於一幅圖像f(x,y)，可以表示爲照射分量i(x,y)和反射分量r(x,y)的乘積。其中0<i(x,y)<∞，0<r(x,y)<1。i(x,y)描述景物的照明，變化緩慢，處於低頻成分。r(x,y)描述景物的細節，變化較快，處於高頻成分。因爲該性質是乘性的，所以不能直接使用傅里葉變換對i(x,y)和r(x,y)進行控制，因此可以先對f(x,y)取對數，分離i(x,y)和r(x,y)。令z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y)。由於f(x,y)的取值範圍爲[0, L-1]，爲了避免出現ln(0)的情況，故採用ln ( f(x,y) + 1 ) 來計算。
然後取傅里葉變換，得到 Z(u,v) = Fi(u,v) + Fr(u,v)。
然後使用一個濾波器，對Z(u,v)進行濾波，有 S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) = H(u,v)Fi(u,v) + H(u,v)Fr(u,v)。
濾波後，進行反傅里葉變換，有 s(x, y) = IDFT( S(u,v) )。
最後，反對數（取指數），得到最後處理後的圖像。g(x,y) = exp^(s(x,y)) = i0(x,y)+r0(x,y)。由於我們之前使用ln ( f(x,y)+1)，因此此處使用exp^(s(x,y)) - 1。 i0(x,y)和r0(x,y)分別是處理後圖像的照射分量和入射分量。
這個濾波器通常我們取如下形式：
其中，
γL< 1，γH >1，控制濾波器幅度的範圍。Hhp通常爲高通濾波器，如高斯（Gaussian）高通濾波器、巴特沃茲(Butterworth)高通濾波器、Laplacian濾波器等。
如果Hhp採用Gaussian高通濾波器，則有：
其中，c爲一個常數，控制濾波器的形態，即從低頻到高頻過渡段的陡度（斜率），其值越大，斜坡帶越陡峭，見下圖。
圖2 同態濾波器幅頻曲線
如果英文可以的，直接看http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/LECT5/node4.html這篇文章。
其實過程很簡單，但是很多博文都給出了錯誤的代碼，比如在圖像增強處理之：同態濾波與Retinex算法(一)同態濾波一文中，其給出的主要代碼如下：
function I3 = homofilter(I) %同態濾波函數
subplot(1,2,1),imshow(I);title('同態濾波之前原始圖像');
I=double(rgb2gray(I));
[M,N]=size(I);
rL=0.5;
rH=5;%可根據需要效果調整參數
c=3;
d0=9;
I1=log(I+1);%取對數
FI=fft2(I1);%傅里葉變換
n1=floor(M/2);
n2=floor(N/2);
for i=1:M
for j=1:N
D(i,j)=((i-n1).^2+(j-n2).^2);
H(i,j)=(rH-rL).*(exp(c*(-D(i,j)./(d0^2))))+rL;%高斯同態濾波
end
end
I2=ifft2(H.*FI);%傅里葉逆變換
I3=real(exp(I2));
subplot(1,2,2),imshow(I3,[]);title('同態濾波增強後');
我們看看其傳遞函數H那一行的代碼：
H(i,j)=(rH-rL).*(exp(c*(-D(i,j)./(d0^2))))+rL;%高斯同態濾波
很明顯，這裏有着嚴重的錯誤，1-exp操作，他直接寫成了exp。雖然他最後得到了一個似乎不錯的結果，但是這是違背科學的。
再比如同態濾波及其實現 這篇文章其實也是不對的，其部分代碼如下：
% 生成同態濾波函數，中心在(m+1,n+1)
Homo = zeros(P, Q);
a = D0^2; % 計算一些不變的中間參數
r = rh-rl;
for u = 1 : P
for v = 1 : Q
temp = (u-(m+1.0))^2 + (v-(n+1.0))^2;
Homo(u, v) = r * (1-exp((-c)*(temp/a))) + rl;
end
end
%進行濾波
G = F1 .* Homo;
% 反傅里葉變換
gp = ifft2(G);
由於之前計算的fft結果沒有中心化，所以進行濾波前需要對Homo進行反中心化，所以這裏的代碼也不對。
我們在看matlab—同態濾波的實現這篇文章的代碼：
clear all
clc
I =imread('moon128.bmp'); % tun.bmp
figure(1),subplot(221),imshow(I); title('原圖')
I=im2double(I); %轉換數據類型爲double型
[M,N]=size(I);
P = 2*M; Q = 2*N;
I2 = zeros(P,Q);
for i = 1:M
for j =1:N
I2(i,j) = I(i,j); %對圖像進行填充
end
end
figure(1),subplot(222),imshow(I2);title('填充後的圖像')
I2=log(I2+1); %取對數
FI=fft2(I2); %傅里葉變換
rL=0.25;
rH=2.2; % 可根據需要效果調整參數
c=2.0; %銳化參數
D0=20;
n1=floor(P/2);
n2=floor(Q/2);
for u=1:P
for v=1:Q
D(u,v)=sqrt(((u-n1).^2+(v-n2).^2)); %頻率域中點（u，v）與頻率矩形中心的距離
H(u,v)=(rH-rL).*(1-exp(-c.*(D(u,v)^2./D0^2)))+rL; %高斯同態濾波
end
end
H=ifftshift(H); %對H做反中心化
I3=ifft2(H.*FI); %傅里葉逆變換
I4=real(I3);
I5 =I4(1:M, 1:N); %截取一部分
I6=exp(I5)-1; %取指數
figure(1),subplot(223),imshow(I6,[]);title('同態濾波增強後'）
個人覺得這個比較接近正確的結果了，但是我覺得還是有點問題，im2double函數會將圖像數據歸一化到【0,1】之間，和大部分的實現方式都不同。而且這個時候如果避免log後面參數爲0，也不易加上1了，數量級太大了，加上0.0001之類的就可以了。
再找一篇文章的代碼：同態濾波用於光照不均勻校正，這裏的貼的效果也不錯，代碼如下：
clear all;
[filename,pathname]=uigetfile('*.*','選擇圖像文件');%通過瀏覽文件夾來讀取圖片
if isequal(filename,0) %判斷是否選擇
msgbox('沒有選擇任何圖片');
else
image=imread(strcat(pathname,filename));%獲取圖像路徑path，然後讀取圖片file
end
figure();subplot(2,2,1);
imshow(abs(image));
title('原始圖像');
img=im2double(image); %轉換圖像矩陣爲雙精度型
lnimg=log(img+0.000001); %取對數
Fimg=fft2(lnimg); %傅里葉變換
P=fftshift(Fimg); %將頻域原點移到圖像中心；
[M,N]=size(P); %返回的行數和列數在P作爲單獨的輸出變量
subplot(2,2,2);imshow(uint8(abs(P)),[]);title('濾波前的頻譜圖像');
%顯示無符號8位數，即256級的灰度圖像
x0=floor(M/2);
y0=floor(N/2);%表示將向量M和N每個元素與2作除法後取整
%同態濾波參數設置
D0=100;%截止頻率
c=1.50;%銳化係數
Hh=0.5;Hl=2; %Hh<1,Hl>1，Hh爲高頻增益，Hl爲低頻增益，
%通過改變這兩個參數，得到不同的濾波效果
for u=1:M
for v=1:N
D(u,v)=sqrt((u-x0)^2+(v-y0)^2);%點（u,v）到頻率平面原點的距離
H(u,v)=(Hh-Hl)*(1-exp(-c*(D(u,v)^2/D0^2)))+Hl;%同態濾波器函數
end
end
hImg=Fimg.*H(u,v);%濾波，矩陣點乘
Q=fftshift(hImg);%傅里葉逆變換
subplot(2,2,3),imshow(uint8(abs(Q))),title('濾波後的頻譜圖像')
gImg=ifft2(hImg);%反傅立葉變換
Y=exp(gImg); %取指數
J=im2uint8(Y);%轉換圖像矩陣爲無符號8位數，即256級的灰度圖像
subplot(2,2,4),imshow(J),title(' 濾波後的增強圖像')
這裏的代碼很明顯的Hh還比Hl小，我是在搞不懂作者這裏是怎麼考慮的，同樣的道理少了反中心化那一步。
通過以上代碼，我們發現有的代碼在做FFT變換前會將圖像擴大一倍，比如這個matlab的網站中關於同態濾波也提到了2倍尺寸：https://blogs.mathworks.com/steve/2013/06/25/homomorphic-filtering-part-1/，雖然說得很有道理，但是經過測試，我覺得真的有必要嗎，又佔內存又減低了速度。
綜合各篇文章的代碼，通過實驗我整理後的matlab代碼如下：
% 同態濾波器
% ImageIn - 需要進行濾波的灰度圖像
% High - 高頻增益,需要大於1
% Low - 低頻增益,取值在0和1之間
% C - 銳化係數
% Sigma - 截止頻率，越大圖像越亮
% 輸出爲進行濾波之後的灰度圖像
function [ImageOut] = HomoFilter(ImageIn, High, Low, C, Sigma)
Img = double(ImageIn); % 轉換圖像矩陣爲雙精度型,不會改變數據本身
[Height, Width] = size(ImageIn); % 返回的行數和列數
CenterX = floor(Width / 2); % 中心點座標
CenterY = floor(Height / 2);
LogImg = log(Img + 1); % 圖像對數數據
Log_FFT = fft2(LogImg); % 傅里葉變換
for Y = 1 : Height
for X = 1 : Width
Dist= (X - CenterX) * (X - CenterX) + (Y - CenterY) * (Y - CenterY); % 點（X,Y）到頻率平面原點的距離
H(Y, X)=(High - Low) * (1 - exp(-C * (Dist / (2 * Sigma * Sigma)))) + Low; % 同態濾波器函數
end
end
H = ifftshift(H); % 對H做反中心化
Log_FFT = H.* Log_FFT; % 濾波，矩陣點乘
Log_FFT = ifft2(Log_FFT); % 反傅立葉變換
Out = exp(Log_FFT)-1; % 取指數
% 指數處理ge = exp(g)-1;% 歸一化到[0, L-1]
Max = max(Out(:));
Min = min(Out(:));
Range = Max - Min;
for Y = 1 : Height
for X = 1 : Width
ImageOut(Y, X) = uint8(255 * (Out(Y, X) - Min) / Range);
end
end
end
以上代碼只針對灰度圖像。
第一，我們沒有將圖像擴大2倍，實踐證明不需要。第二，我們沒有把圖像歸一化，如果使用歸一化的代碼，同樣的參數會有不同的效果。第三，必須對H做反中心化處理，如果不對H反中心化，就要對FFT的結果進行中心化，此時代碼如下所示：
function [ImageOut] = HomoFilter(ImageIn, High, Low, C, Sigma)
Img = double(ImageIn); % 轉換圖像矩陣爲雙精度型,不會改變數據本身
[Height, Width] = size(ImageIn); % 返回的行數和列數
CenterX = floor(Width / 2); % 中心點座標
CenterY = floor(Height / 2);
LogImg = log(Img + 1); % 圖像對數數據
Log_FFT = fft2(LogImg); % 傅里葉變換
Log_FFT = fftshift(Log_FFT);
for Y = 1 : Height
for X = 1 : Width
Dist= (X - CenterX) * (X - CenterX) + (Y - CenterY) * (Y - CenterY); % 點（X,Y）到頻率平面原點的距離
H(Y, X)=(High - Low) * (1 - exp(-C * (Dist / (2 * Sigma * Sigma)))) + Low; % 同態濾波器函數
end
end
Log_FFT = H.* Log_FFT; % 濾波，矩陣點乘
Log_FFT = ifftshift(Log_FFT);
Log_FFT = ifft2(Log_FFT); % 反傅立葉變換
Out = exp(Log_FFT)-1; % 取指數
% 指數處理ge = exp(g)-1;% 歸一化到[0, L-1]
Max = max(Out(:));
Min = min(Out(:));
Range = Max - Min;
for Y = 1 : Height
for X = 1 : Width
ImageOut(Y, X) = uint8(255 * (Out(Y, X) - Min) / Range);
end
end
end
算法使用場合及參數配置說明：
（1）、光照不均勻圖像的均勻化。
要實現此種效果建議的參數配置如下：High = 2, Low =0.2, C > 1, 50<Sigma < 200;
(2) 偏暗圖像的增強
要實現此種效果建議的參數配置如下：High = 2, Low =0.2, C = 0.1, Sigma = max(Width, Height)；
以上是彩色的圖，彩色圖的處理方式有很多種，可以參考我以前所發的博文。
鑑於算法的這個特性，這個算法應該也可以應用在16位圖像的HDR顯示上，有空做做試驗。
matlab的速度還是很慢的，我已經用C++結合SSE優化對上述過程進行了編碼優化，其中的FFT使用了opencv的代碼，目前opencv最新版本的FFT已經支持任意長度的序列了，但是爲了速度，一般還是調用GetOptimalDftSize獲取最佳的序列長度，然後用SSE優化一下其他的輔助處理，速度上對800*600的灰度圖30ms左右。詳見附件的SSE_Optimization_Demo的enhance菜單。
Demo下載地址：https://files.cnblogs.com/files/Imageshop/SSE_Optimization_Demo.rar
