各類數（四）—— Bell 數

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Bell數的定義：第n個Bell數表示集合{1,2,3,...,n}的劃分方案數，即：B[0] = 1;

每一個Bell數都是第二類Stirling數的和，即：

第二類Stirling數的意義是：S(n,k)表示將n個物體劃分成k個非空的不可辨別的（可以理解爲盒子沒有編號）集合的方法

數。很明顯，每一個Bell是對應的第二類Stirling數之和。

Bell數的指數生成函數是：

關於它的推導過程詳見：http://ftiasch.github.io/useless/posts/2013-09-27-generating-function-of-bell-number.html

Bell三角形(構建方法類似於楊輝三角形)

Bell三角形的構造方法：

第一行第一個元素是1，即a[1][1] = 1

對於n>1，第n行第一項等於第n-1行最後一項，即a[n][1] = a[n-1][n-1];

對於m,n>1，第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和，即a[n][m] = a[n][m-1] + a[n-1][m-1];

如圖：

可以看出，每行首項是貝爾數，每行之和是第二類Stirling數。

Bell還有兩個重要的同餘性質：

其中這裏的p是不大於100的素數，這樣，我們可以通過上面的性質來計算Bell數模小於100的素數值。

Bell數模素數p的週期爲：

典型題目：HDU2512，HDU4767

Bell數的預處理：

void Bell(int T[],int MOD)
{
    B[0] = 1;
    B[1] = 1;
    T[0] = 1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        T[i-1] = B[i-1];
        for(int j=i-2;j>=0;j--)
            T[j] = (T[j]+T[j+1])%MOD;
        B[i] = T[0];
    }
}

 

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4767

題意：給定一個數n，範圍是[1,2^31]，求Bell(n)(mod 95041567)

分析：注意95041567 = 31x37x41x43x47，那麼我們先對每一個素數求出Bell(n)(mod p)，然後CRT合併即可。

在這裏，我們有兩種方法，第一種方法就是用

所以可以根據它構造50*50的矩陣。如圖：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
 
using namespace std;
const int N = 50;
 
int a[5];
int m[5] = {31,37,41,43,47};
int B[5][N],T[N];
 
void Bell(int T[],int index,int MOD)
{
    B[index][0] = 1;
    B[index][1] = 1;
    T[0] = 1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        T[i-1] = B[index][i-1];
        for(int j=i-2;j>=0;j--)
            T[j] = (T[j]+T[j+1])%MOD;
        B[index][i] = T[0];
    }
}
 
struct Matrix
{
    int m[N][N];
};
 
Matrix I;
 
Matrix multi(Matrix a,Matrix b,int MOD)
{
    int i,j,k;
    Matrix c;
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        for(j=0;j<N;j++)
        {
            c.m[i][j] = 0;
            for(k=0;k<N;k++)
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k]%MOD * b.m[k][j]%MOD)%MOD;
            c.m[i][j] %= MOD;
        }
    }
    return c;
}
 
Matrix power(Matrix A,int k,int MOD)
{
    Matrix ans = I,p = A;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            ans = multi(ans,p,MOD);
            k--;
        }
        k>>=1;
        p = multi(p,p,MOD);
    }
    return ans;
}
 
void extend_Euclid(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b)*y;
}
 
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int x,y;
    int Mi,M=1,ans = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        M *= m[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        Mi = M/m[i];
        extend_Euclid(Mi,m[i],x,y);
        ans = (ans + Mi*x*a[i])%M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}
 
void Init()
{
    for(int i=0;i<5;i++)
       Bell(T,i,m[i]);
    for(int i=0;i<N;i++)
       for(int j=0;j<N;j++)
           I.m[i][j] = (i == j);
}
 
void Work(int n)
{
    if(n < N)
    {
        for(int i=0;i<5;i++)
            a[i] = B[i][n];
        int ans = CRT(a,m,5);
        printf("%d\n",ans);
    }
    else
    {
        Matrix A;
        for(int i=0;i<5;i++)
        {
            for(int k=0;k<N;k++)
               for(int j=0;j<N;j++)
                  A.m[k][j] = 0;
            for(int j=0;j<m[i]-1;j++)
               A.m[j+1][j] = 1;
            A.m[0][m[i]-1] = A.m[1][m[i]-1] = 1;
            Matrix ans = power(A,n - m[i] + 1,m[i]);
            a[i] = 0;
            for(int j=0;j<m[i];j++)
                a[i] = (a[i] + B[i][j]%m[i]*ans.m[j][m[i]-1]%m[i])%m[i];
            a[i] %= m[i];
        }
        int ret = CRT(a,m,5);
        printf("%d\n",ret);
    }
}
 
int main()
{
    Init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        Work(n);
    }
    return 0;
}

 

 

第二種方法就是利用公式：

 

 

思路：我們求Bell(n)(mod p)，那麼先把n寫成p進制，即：

先預處理b[i] = Bell(i)(mod p)，然後對於大數n求Bell(n)(mod p)就很容易寫出代碼：

for i = 0 to p
    c[i] = b[i];
for i = 1 to cnt-1
    begin
    for j = 1 to a[i] do
        begin
        for k = 0 to p-1
	    d[k] = (c[k+1] + i*c[k]) mod p;
        d[p] = (d[1] + d[0]) mod p;
        for k = 0 to p
	    c[k] = d[k];
	end
    end

 

那麼，d[a[0]]的值就是Bell(n)(mod p)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stdlib.h>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#define maxn 1007
//#define N 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define eps 0.000000001
#define read(x) scanf("%d",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define Debug(x) cout<<x<<" "<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 50;
int a[5];
int m[5] = {31,37,41,43,47};
int B[5][N],T[N];
 
void Bell(int T[],int index,int MOD)
{
    B[index][0] = 1;
    B[index][1] = 1;
    T[0] = 1;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        T[i-1] = B[index][i-1];
        for(int j=i-2; j>=0; j--)
            T[j] = (T[j]+T[j+1])%MOD;
        B[index][i] = T[0];
    }
}
 
int Solve(int n,int index)
{
    int p = m[index];
    int a[N],c[N],d[N];
    for(int i=0; i<=p; i++)
        c[i] = B[index][i];
    int cnt = 0;
    while(n)
    {
        a[cnt++] = n%p;
        n /= p;
    }
    for(int i=1; i<cnt; i++)
    {
        for(int j=1; j<=a[i]; j++)
 
        {
            for(int k=0; k<p; k++)
                d[k] = (c[k+1] + i*c[k])%p;
            d[p] = (d[0] + d[1])%p;
            for(int k=0; k<=p; k++)
                c[k] = d[k];
        }
    }
    return d[a[0]];
}
 
void extend_Euclid(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b)*y;
}
 
int CRT(int a[],int m[],int n)
 
{
    int x,y;
    int Mi,M=1,ans = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        Mi = M/m[i];
        extend_Euclid(Mi,m[i],x,y);
        ans = (ans + Mi*x*a[i])%M;
    }
    if(ans < 0) 
        ans += M;
    return ans;
}
 
void Init()
{
    for(int i=0; i<5; i++)
        Bell(T,i,m[i]);
}
 
void Work(int n)
{
    if(n<50)
    {
        for(int i=0; i<5; i++)
            a[i] = B[i][n];
        int ans = CRT(a,m,5);
        printf("%d\n",ans);
    }
    else
    {
        for(int i=0; i<5; i++)
            a[i] = Solve(n,i);
        int ans = CRT(a,m,5);
        printf("%d\n",ans);
    }
}
 
int main()
{
    Init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        Work(n);
    }
    return 0;
}

轉自：https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/12309269