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簡介
斯特林數是組合數學中的一個重要內容，有許多有用的性質。它由十八世紀的蘇格蘭數學家James Stirling首先發現並說明了它們的重要性。
斯特林數主要處理的是把N個不同的元素分成k個集合或環的個數問題。現在我們說的斯特林數可以指兩類數，分爲第一類斯特林數和第二類斯特林數，其中第一類斯特林數還分成有符號和無符號兩種。
第一類斯特林數
這裏僅討論有符號的第一類斯特林數。
第一類斯特林數表示的是將n個不同元素分成k個不同的環的方案數。兩個環不相同當且僅當這兩個環不能通過旋轉得到。表示方法爲：
考慮遞推，把nn個不同元素分成k個不同的環有兩種轉移。第一種，有可能是n−1個不同元素分成k−1個不同的環，當前的第n個獨立成一個元素。第二種可能是n−1個不同元素已經分好了k個不同的環，當前這個可以加進去。加在每個已有元素的逆時針方向（或順時針方向，方向沒有關係，只要統一即可）就不會出現重複，共有n−1種方法，所以：
這就是第一類斯特林數的遞推式，也可以寫成：
s(n,k)=s(n−1,k−1)+s(n−1,k)∗k
性質
組合數學中的定理暴力求解可行，但是不好玩。所以組合數學中很多定理的證明是通過構造一個問題，用兩種不同的方法計算，由於是同一個問題，那麼算出來的答案一定是相等的，從而證明等式，簡稱“算兩次”。
第一類斯特林數有如下特殊性質：
下面給出性質1，3，4，5的證明。
性質一
顯然，我們把n個元素排列起來，有n!種可能，首尾相接即可得到一個環。這裏面每種情況重複了n次，因爲可以旋轉n次，所以除以n，得到s(n,1)=(n−1)!.
性質三
這裏給出數學歸納法的證明。
首先，s(2,2)=1∗1=1，符合定義。
下面通過遞推式和性質一證明性質三對於n也成立：
得證！
性質四
同理可用數學歸納法強行計算。巧妙的方法我還沒想到。
性質五
這裏有一個巧妙地“算兩次”方法。
首先構造一個問題，求n個數的所有排列。
首先用乘法原理直接得出結論，ans=n!。
我們知道，對於一個排列對應一個置換，即：
把這個置換中的上下對應位置連邊，可以得到許多的環。由於排列和置換是一一對應的，所以我們要求排列的個數，就是求用n個元素組成環的方案數，所以我們枚舉環的個數:
由於我們有s(n,0)=0，所以也可以寫成：
第二類斯特林數
第二類斯特林數表示把n個元素分成k個非空集合的方案數，集合內是無序的。這樣，我們很容易得出轉移：
分爲兩種情況。第一種情況，如果前n−1個元素組成了k−1個非空集合，那麼當前元素自成一個集合。第二種情況，如果前n−1個元素組成了k個集合，那麼當前的這個元素可以放進這k個集合中任意的一個。所以我們的到來遞推方程：
也可以寫成：
性質
通項公式：
大概就是容斥原理，k枚舉有多少個集合是空的，每種情況有
最後推送上斯特林公式求階乘長度：
lg(n!)=lg(2*pi*n)/2+n*lg(n/e)
e=2.71828182845
pi=3.1415926
可直接推得位數：res = lg(2*pi*n)/2+n*lg(n/e)+1