Manacher算法（求最長迴文子串）

  Manacher的主要用途是求一個字符串中包含的最長迴文子串。

一、前期處理

  1.原始字符串長度有奇有偶，爲了方便處理字符串，我們使用了一種統一的處理方法。在每個字符兩邊都插入一個特殊字符（注意這個字符一定是原始字符串不包含的，否則就會混了）。
  比如原始字符串是"abcba"，那增加特殊字符"#“之後就變成”#a#b#c#b#a#"；原始字符串是"abba"，增加特殊字符"#“之後就變成”#a#b#b#a#"。這樣無論原始字符串長度是奇還是偶，處理之後都會變成奇數長度。
  2.在增加特殊符號之後，爲了方便地處理數組越界問題，我們在字符串頭部再增加一個特殊字符（這個字符不在原始字符串內，也不能與初次添加的特殊字符相同），這樣做的目的是在判定迴文串時不可能越過0。
  比如初次添加後字符串爲"#a#b#c#b#a#"，我們可以再選用"@“作爲二次特殊字符加到頭部，這樣字符串就變成”@#a#b#c#b#a#"。

---

  爲了講解方便，我們先給出最終結果。
  我們以字符串"12212321"爲例，在前期處理之後字符串變爲"@#1#2#2#1#2#3#2#1#"，記爲S[i]，然後我們用一個數組P[i]來記錄以i爲中心的迴文串的半徑（包括i本身）。比如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
s[i]	@	#	1	#	2	#	2	#	1	#	2	#	3	#	2	#	1	#
P[i]	-	1	2	1	2	5	2	1	4	1	2	1	6	1	2	1	2	1

  max(P[i]-1)就是最長迴文子串的長度，我們下面來講P[i]怎麼求。

---

二、關於P[i]的說明

  $\xi$記住P[i]就是以i爲中心的迴文半徑!
  首先P[i]的求解是從左到右的，也就是如果要求P[i]，那P[1]~P[i-1]已經求出來了，其中P[0]是越界指標不用考慮和計算。
  P[i]指的是包括i本身在內的迴文串半徑，也就是說P[i]最小是1，因爲只有一個字符也算迴文串。比如檢測到了迴文串"#2#3#2#"，其中3爲中心，那P[i]=4。

三、輔助變量

  （1）id
  id表示的是當前探測到的迴文子串的中心點。
$id變換的條件是新檢測到的迴文串超出了當前回文串的範圍。$
  （2）mx
  mx表示的是當前探測到的迴文子串的右邊界（不是邊界本身，而是最右值+1）。
$mx的計算方法是mx=i+P[i]。$

  我們來分析一下上圖的示例。
  當i=1時，令P[i]=1，然後看i+1和i-1是否相等，發現不等，判定結束。所以P[i]=1，此時id=1,mx=2。
  當i=2時，令P[i]=1，然後看i+1和i-1是否相等，發現相等，P[i]+=1，然後看i+2和i-2是否相等，發現不等，判定結束。我們得到一個迴文串"#1#"，P[i]=2，此時新的迴文串右邊界爲4，超過了原來的mx，所以我們需要更新id=2，mx=4。
  當i=3時，P[i]=1，此時新的右邊界爲4，沒有超過mx，所以id和mx不更新。
  當i=4時，我們檢測到新的迴文串"#2#"，P[i]=2，此時新的迴文串右邊界爲6，超過了原來的mx，所以我們需要更新id=4，mx=6。
  當i=5時，我們檢測到新的迴文串"#1#2#2#1#2#"，P[i]=6，此時新的迴文串右邊界爲11，超過了原來的mx，所以我們需要更新id=5，mx=11。
…

四、核心方法

  當你看上面的求解過程，你會覺得跟平常的迴文串求解步驟是一樣的。別急，下面就是Manacher的優化的地方了。先上圖。

  當前我們探測到的迴文串爲now_palindrome，中心點爲id，右邊界爲mx，左邊界爲mx相對於id的對稱點，即2*id-mx。當我們檢測完id，i向後移動的過程中，我們可以利用迴文串的對稱性來縮減運算。圖中i相對於迴文串中心id的對稱點是j，也就是i+j=2*id，即j=2*id-i。
  所以可以知道的一個情況是:
$在now\_palindrome的範圍內，i和j的迴文半徑是相同的。$
  我們分情況來解釋這句話：
  （1）j是迴文串中心，左半徑在now_palindrome內。也就是說以j爲中心的迴文串最左邊沒有超過mx的對稱點，即左半徑在圖中橙色方塊內。這時候由對稱性可知P[i]=P[j]，這樣我們就不用對i進行逐個比較了。
  （2）j是迴文串中心，但左半徑超出了now_palindrome。這時候我們只能確定的一件事是以i爲中心的迴文串右半徑至少到達了mx。也就是P[i]>=mx-i。至於超過mx的部分是否仍然對稱，就需要我們去逐個判斷了。這樣我們節省了mx之內的判斷步驟。

  用數學表達式來寫就是：
  （1）j的左半徑越界
$j-P[j]<=2*id-mx$$2*id-i-P[j]<=2*id-mx$$即mx-i<=P[j]$
  這時先令P[i]=mx-i，也就是i的半徑至少從i到mx這麼長。然後比較mx和2*i-mx是否相等，如果相等P[i]加1，然後接着比較mx+1和2*i-mx-1是否相等，如果相等P[i]加1，這樣一直比較直到遇到兩個不相等的數，P[i]計算完畢。
  （2）j的左半徑不越界
$即mx-i>P[j]$
  此時P[i]=P[j]。當然這時候如果你接着從i+P[i]的位置比較一定不相等，因爲P[j]已經證實了這一點。

  看到這的時候我們必須要理解一個前提：
$一旦id變換，i的移動過程就會重置。$
  也就是我們討論的是當id固定的時候，i的移動情況，但是實際過程中有可能i移動兩下id就換了，這樣當然i又會從id+1的位置開始判定；但還存在一種情況就是i移動到mx了，id仍然保持不變。
  我們上面說過了id更換的條件是新檢測到的迴文串超出了原來回文串的範圍，而當i移動到mx時，此時檢測到的迴文串肯定超出了原來的範圍了，所以是相當於自然重置了。所以當i>=mx時，我們應該先令P[i]=1，然後逐個比較i+1和i-1，i+2和i-2……一直比較到兩個數不相等，這樣就能夠計算出P[i]。

  總結起來就是：

if(mx>i)
{
	if(mx-i<=P[j])
	{
		P[i]=mx-i
		比較mx和2*i-mx，mx+1和2*i-mx-1
	}
	else
	{
		P[i]=P[j]
		比較i+P[i]和i-P[i]//其實不用比較，由P[j]可知一定不等
	}
}
else
{
	P[i]=1;
	比較i+1和i-1,i+2和i-2……
}

  你會發現無論什麼情況，開始比較的位置一定都是i+P[i]，因爲P[i]已經告訴我們i的半徑探到哪了，所以這就爲我們節省了時間，把代碼優化一下就變成:

P[i]=mx>i?min(mx-i,P[2*id-i]):1;
while(S[i+P[i]]==S[i-P[i]])
	P[i]++;	

  可以看到我們用min(mx-i,P[2*id-i])統一 了mx-i<=P[j]和mx-i>P[j]的情況。其實仔細想一下就能知道，如果j左半徑探出去了，那P[i]=mx-i，此時mx-i<P[j]；如果j沒探出去，那P[i]=P[j]，P[j]<mx-i。

五、總體代碼

void Manacher(string str)
{
    string s=str;
    if(s=="")
        return ;
    for(int i=0;i<s.length();i+=2)//前期處理
        s.insert(i,1,'#');
    s="@"+s+"#";
    int P[s.length()];
    int id=0,mx=0;
    int max_num=0;//記錄最大半徑
    int max_id=0;//記錄最大半徑下標
    for(int i=1;i<s.length();i++)
    {
       P[i]=mx>i?min(P[2*id-i],mx-i):1;//初始賦值
       while(s[i+P[i]]==s[i-P[i]])//繼續搜索P[i]之外的地方
            P[i]++;
       if(i+P[i]>mx)//判定id是否更新
       {
           mx=i+P[i];
           id=i;
       }
       if(P[i]>max_num)
       {
           max_num=P[i];
           max_id=i;
       }
    }
    cout<<"最長迴文子串長度爲:"<<max_num-1<<endl;
    cout<<"最長迴文子串爲:"<<str.substr((max_id-P[max_id])/2,max_num-1);
}