聚类属于无监督学习，以往的回归、朴素贝叶斯、SVM 等都是有类别标签 y 的，也就 是说样例中已经给出了样例的分类。而聚类的样本中却没有给定 y，即监督样本。
在聚类问题中，给我们的训练样本是{𝑥(1),…,𝑥(𝑚)}，每个𝑥(𝑖) ∈ ℝ𝑛，没有了 y。
K-means 算法是将样本聚类成 k 个簇（cluster），具体算法描述如下：
K 是我们事先给定的聚类数，𝑐(i)代表样例 i 与 k 个类中距离最近的那个类，𝑐(i)的值是 1 到 k 中的一个。质心𝜇𝑗代表我们对属于同一个类的样本中心点的猜测。
其中重复过程的理解：
①对于每个样例，计算其属于的类，为c(i)
②对于每个类，再重新计算质心
拿星团模型来解释就 是要将所有的星星聚成 k 个星团，首先随机选取 k 个宇宙中的点（或者 k 个星星）作为 k 个 星团的质心，然后第一步对于每一个星星计算其到 k 个质心中每一个的距离，然后选取距离 最近的那个星团作为𝑐(i)，这样经过第一步每一个星星都有了所属的星团；第二步对于每一 个星团，重新计算它的质心𝜇𝑗（对里面所有的星星座标求平均）。重复迭代第一步和第二步 直到质心不变或者变化很小。
下图展示了对 n 个样本点进行 K-means 聚类的效果，这里 k 取 2。
ab图中都为绿色表示还未分类，X代表质心，红与蓝表示两种类。
K-means 面对的第一个问题是如何保证收敛，前面的算法中强调结束条件就是收敛，可 以证明的是 K-means 完全可以保证收敛性。下面我们定性的描述一下收敛性，我们定义畸变 函数（distortion function）如下：
J 函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means 是要将 J 调整到最小。假设当 前 J 没有达到最小值，那么首先可以固定每个类的质心𝜇𝑗，调整每个样例的所属的类别𝑐(i)来 让 J 函数减少，同样，固定𝑐(i)，调整每个类的质心𝜇𝑗也可以使 J 减小。这两个过程就是内循 环中使 J 单调递减的过程。当 J 递减到最小时，μ和 c 也同时收敛。（在理论上，可以有多组 不同的μ和 c 值能够使得 J 取得最小值，但这种现象实际上很少见）。 由于畸变函数 J 是非凸函数，意味着我们不能保证取得的最小值是全局最小值，也就是 说 k-means 对质心初始位置的选取比较感冒，但一般情况下 k-means 达到的局部最优已经满 足需求。但如果你怕陷入局部最优，那么可以选取不同的初始值跑多遍 k-means，然后取其 中最小的 J 对应的μ和 c 输出。
下面累述一下 K-means 与 EM 的关系，首先回到初始问题，我们目的是将样本分成 k 个 类，其实说白了就是求每个样例 x 的隐含类别 y，然后利用隐含类别将 x 归类。由于我们事 先不知道类别 y，那么我们首先可以对每个样例假定一个 y 吧，但是怎么知道假定的对不对 呢？怎么评价假定的好不好呢？我们使用样本的极大似然估计来度量，这里是就是 x 和 y 的 联合分布 P(x,y)了。如果找到的 y 能够使 P(x,y)最大，那么我们找到的 y 就是样例 x 的最佳类 别了，x 顺手就聚类了。但是我们第一次指定的 y 不一定会让 P(x,y)最大，而且 P(x,y)还依赖 于其他未知参数，当然在给定 y 的情况下，我们可以调整其他参数让 P(x,y)最大。但是调整 完参数后，我们发现有更好的 y 可以指定，那么我们重新指定 y，然后再计算 P(x,y)最大时 的参数，反复迭代直至没有更好的 y 可以指定。
这个过程有几个难点，第一怎么假定 y？是每个样例硬指派一个 y 还是不同的 y 有不同 的概率，概率如何度量。第二如何估计 P(x,y)，P(x,y)还可能依赖很多其他参数，如何调整里 面的参数让 P(x,y)最大。这些问题在以后的篇章里回答。
这里只是指出 EM 的思想，E 步就是估计隐含类别 y 的期望值，M 步调整其他参数使得 在给定类别 y 的情况下，极大似然估计 P(x,y)能够达到极大值。然后在其他参数确定的情况 下，重新估计 y，周而复始，直至收敛。 上面的阐述有点费解，对应于 K-means 来说就是我们一开始不知道每个样例x(𝑖)对应隐 含变量也就是最佳类别c(𝑖)。最开始可以随便指定一个c(𝑖)给它，然后为了让 P(x,y)最大（这 里是要让 J 最小），我们求出在给定 c 情况下，J 最小时的𝜇𝑗（前面提到的其他未知参数）， 然而此时发现，可以有更好的c(𝑖)（质心与样例x(𝑖)距离最小的类别）指定给样例x(𝑖)，那么c(𝑖) 得到重新调整，上述过程就开始重复了，直到没有更好的c(𝑖)指定。这样从 K-means 里我们 可以看出它其实就是 EM 的体现，E 步是确定隐含类别变量c，M 步更新其他参数μ来使 J 最 小化。这里的隐含类别变量指定方法比较特殊，属于硬指定，从 k 个类别中硬选出一个给样 例，而不是对每个类别赋予不同的概率。总体思想还是一个迭代优化过程，有目标函数，也 有参数变量，只是多了个隐含变量，确定其他参数估计隐含变量，再确定隐含变量估计其他 参数，直至目标函数最优。