帶你深入理解矩陣乘法

爲了不浪費大家寶貴的時間，開頭我先簡要說明一下這篇博文對哪些讀者可能會有幫助

1、你是正在學習矩陣的乘法運算，覺得矩陣的乘法掌握起來很困難

2、你已經學會了矩陣乘法，但如果你在計算矩陣乘法時還在使用“一行乘一列得一數”的方法，那我強烈建議你看看後面的內容。

因爲，我將帶你更加深刻地理解矩陣，與之而來是對矩陣乘法的全新計算方式。這不僅讓你在計算矩陣乘法時更快，而且更省心。

 

“矩陣就是數表”這可能是很多人第一次在線性代數課堂上聽到的概念。我不能指責老師這樣教有錯，但這種膚淺的理解會給以後的學習帶來越來越多的困難，無形之中讓線性代數變得越來越“玄學”。

我認爲好的學問都應該是通俗易懂的，因此讓我們從一個最簡單的概念開始——數數，或者說計量。

人類利用數字來表示事物的多少，但單有數字還是不夠的，配合數字一起使用的還有一個概念——單位。例如，2L水，3kg鋼鐵等等。在更爲抽象的一點事物上，還有與“單位”對應的一個概念——權。例如十進制數字 34 中的 4 的權是 1，而 3 的權是進制 10。簡單來說，衡量任何實物，我們總是要現在此類事物中找一個看得順眼的 “樣品” 來作爲衡量該類型其他事物的一個標準，看看需要衡量的事物是這個標準量的“幾倍”，這樣綜合起來，我們心裏就能有一個感性的認識。

認識一：其實沒有標準，所有的標準都是由一個具體的事物（看得最順眼的那個）來充當的。

上面的數數的例子都是單維度的，然而有很多量無法之中一組“數字+單位”這樣的組合來描述清楚，而需要多組。比如，平面上的點的位置需要兩組，三維空間中的點的位置需要三組才能描述清楚，等等。而線性代數研究的就是空間。讓我們還是再從最簡單的概念開始——平面直角座標系。

也許你會說，平面直角座標系還不簡單麼，不就是這個麼

                                                         

但是，我更希望它在你心中樣子長成這樣：

                                                  

官方的說法把它叫做“平面直角座標系的基”，你可以把它理解爲在平面中數點的位置時用到的“單位”（就叫它“標準1”吧）。點（2,3）實際上是：

                                                                   

很多時候我們看的順眼事物往往就那一個，因此標準也是唯一的了。比如二維平面的標準：

                                                                                

或許有人會說，x方向的基並不一定需要和y方向上的基保持長度相同，夾角也不需要是直角（只要是兩個方向就行了）。隨便整一個：

                                                                  

這也能作爲衡量平面中點的座標的“單位”（暫且叫它“標準2”好了）。但讓我們來看一個具體的例子：

如果有一個點在上面這個座標系中的座標是：x=3, y=4。我們是不是通常會“忍不住“計算一下：

                                       

這個算式很簡單，但不知你想過沒有，爲什麼我們要去算呢？爲什麼不就用

                                                                               

來表示這個點的座標就好了呢，實際上，當我們寫下第一個等號，在進行

                                                                                  

這樣的換算時，我們就已經放棄上面的“標準2”，又使用起了平面直角座標系的“標準1”。

認識二：標準往往是唯一的，使用其他的標準時，我們會情不自禁地回到這個唯一的標準。而這個唯一的標準都有一個特性，你不會去想把它轉化成其他標準。

而這個的簡單算式，實際上就是一次“矩陣運算”！不信？讓我們再來看一下這個簡單的式子：

                                                      

這就是簡單而又直接的算法，我可沒有用什麼“一橫乘一豎”。不過你應該能發現兩種算法的答案居然是一樣的！等等，你也許會說，這根本就不是矩陣的乘法，就算你這樣變形着寫，着充其量也就是個向量對矩陣的乘法。那下面再讓我們來思考一個更爲深刻的問題——矩陣究竟是什麼？是數表麼，當然不是。其實，上文已經對這個問題給出了答案，再看看 認知一 吧，標準是由事物來充當的；二維空間中衡量點的位置的標準是由二維點來充當的，n 維空間中衡量點的位置的標準是由 n 維點來充當的。更進一步的，n 維空間中衡量一個點的座標需要描述清楚 n 個維度，那描述清楚每一個維度又需要什麼呢？回到開篇所說，需要一個數，一個“單位”。而在 n 維空間中，一個“單位”，一個“標準”，就是由一個點來充當的啊。即，一個維度需要一個標準，一個標準就是一個點，n 個維度自然需要 n 個點，而這每個點又都是 n 維空間中的點，自然每個都有 n 個維度。n 個 n 維點，可不就是一個  的矩陣嘛。爲什麼長寬相等的矩陣出現頻率這麼高，因爲這樣的矩陣本質上是一個座標系！一個描述 n 維空間的座標系。

當你用一個點（專業的說法叫向量）乘以矩陣時，實際上是放棄了以這個矩陣作爲座標系來衡量這個點的位置，重新使用了我們看得最順眼的衡量標準——“單位陣”；

當你用矩陣乘以矩陣時，如

                                                                             

實際上是進行了 n 次點乘以矩陣。你放棄了用矩陣 B 來衡量前面矩陣 A 中的 n 個點的位置，重新使用了我們看得最順眼的衡量標準——“單位陣”。這矩陣A中的 n 個點在矩陣 B 中的位置就是矩陣 A 本身所描述的，在你放棄標準 B（進行了這次矩陣運算後），矩陣 A 中的 n 個點的位置變成由矩陣 C 來描述了。

最後，有了上面的鋪墊，我們來看一下，在這樣的理解下，矩陣乘法到底應該怎麼算。

                                      

這裏只有“橫”，沒有什麼“豎”的概念。不要一個數一個數地算，應該一個點一個點的算。公式太抽象？舉個栗子,要計算：

                                                                          

我們一行一行的算，第一行：

                                   

相信剩下兩行的計算就不用我囉嗦了，大家都會。

相信大家在學線性代數的時候，一會兒是列向量，一會兒是行向量，叫人頭暈，老師解釋這只是種寫法，並沒有什麼講究，但事實又好像不是如此，因爲你要“一行乘一列”嘛，前面放“行”後面放“列”，這式子沒法算吶。但我在這裏要吶喊：

認識三：從來就沒有什麼列向量，所有的向量都是行向量。

其實，你要是認爲“從來就沒有什麼行向量，所有的向量都是列向量”也可以，那樣的算法是一次算一列。事情的真相其實是所有的向量都是“同方向”的，你喜歡行向量就都是行向量好了，你喜歡列向量就都是列向量好了，反正他們不會同時存在。相信只有一個方向的向量會讓你神清氣爽，不再暈頭轉向。不過你要是用列向量的話，記得要從後往前算，有興趣的讀者可以研究一下具體的算法，如有不明之處可以下面留言交流。

最後再皮一下：其實我是喜歡都看能行向量啦，一來寫起來省紙又順手，二來從左往右算，符合習慣。我還暗自揣測過爲什麼行比列順手，可能跟書寫工具有關吧，矩陣記號是西方發明的，西方人用硬筆，書寫時沉腕，旋轉肘關節自然橫向方便，如果矩陣記號是中國人發明的，我們用軟筆，書寫時懸腕，旋轉肩關節自然豎向方便，那說不定矩陣運算就是列運算更加方便了。

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