在報表的數據統計中，常常會根據精度呈現或者單位換算等要求，需要對數據執行四捨五入的操作，這種操作稱爲舍位處理。簡單直接的舍位處理有可能會帶來隱患，原本平衡的數據關係可能會被打破。
爲了保證報表中數據關係的正確，就需要調整舍位之後的數據，使得數據重新變得平衡，這樣的調整就叫做舍位平衡。在這裏我們就討論一下如何利用集算器來處理舍位平衡問題。
舍位處理往往會採取四捨五入計算，這時就會產生誤差，而如果報表中有這些數據的合計數值，那麼舍位時產生的誤差就會積累，有可能導致舍位過的數據與其合計值無法匹配。例如，保留一位小數的原始的數據是4.5+4.5=9.0，而四捨五入只保留整數部分後，平衡關係就變爲5+5=9了，看上去明顯是荒謬的。在這樣的情況下，需要在保持合計值正確的條件下，調整非合計數據舍位後的結果，使得數據關係重新平衡，例如調整爲4+5=9。這個簡單的例子就是典型舍位平衡。
1. 單向舍位平衡
如果在數據統計時，每個數據只用於一次合計，那麼在處理舍位平衡時，只需要根據合計值的誤差，調整使用的各項數據就可以了，這屬於比較簡單的情況。例如：
A | B | C | |
1 | [1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39] | =A1.sum() | |
2 | =A1.(round(~)) | =round(B1) | =A2.sum() |
A1的序列中存儲了一些數據,在B1中計算了它們的合計值，結果如下：
現在，將數據取整，重新統計。A2中將序列中每個數據用round函數四捨五入取整，得到新的序列。在B2中則將B1中的結果取整，這是數據取整後應該獲得的結果。在C2中則只是簡單地用取整後的數據來求和。A2，B2和C2中結果分別如下：
顯然，舍位後誤差的累積導致數據不再平衡，將原始數據分別四捨五入後，總和由12變成了10。那麼，能不能把合計數直接改爲10呢？這是不行的，因爲這樣會使得最終結果與真實值完全不符。因此，爲了保證舍位後仍然能夠保持平衡關係，應該分別改變各個原始數據舍位後的結果。
舍位後總計產生的誤差，稱爲“平衡差”，舍位平衡其實就是消除平衡差的過程。處理舍位平衡的規則有很多，下面我們分別進行研究：
(1) 將平衡差整理到第一個數據中。即：
A | B | C | |
1 | [1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39] | =A1.sum() | |
2 | =A1.(round(~)) | >A2(1)+=round(B1)-A2.sum() | =A2.sum() |
B2中，把平衡差折算到舍位後的第一個數據中。整理後，在C2中重新計算了舍位平衡處理後的合計值。A2和C2中的結果如下：
這種舍位平衡的處理規則最爲簡單。但是，舍位後第1個數據由1.48變爲了3，明顯偏移了很多，因此這樣的處理不夠合理，特別是在數據很多的情況下，平衡差也有可能會累積的很大，進而致使第1個數據產生非常荒謬的偏移結果。
(2) 將平衡差按照“最小調整值”，對絕對值比較大的數據進行分擔調整。
所謂最小調整值，就是舍位後最小精度的單位值，例如在取整時，最小精度就是個位，最小調整值就是1或者-1。如果舍位後合計值變小，則需要將數據調大，那麼最小調整值就是1；如果舍位後合計值變大，則需要將數據調小，最小調整值就是-1。而調整隻針對絕對值比較大的數據，這樣它們的相對偏差就會比較小。具體調整幾個數，那就是合計值偏差除以最小調整值。
在這種規則下，前面問題的舍位平衡處理如下：
A | B | C | |
1 | [1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39] | =A1.sum() | |
2 | =A1.(round(~)) | =round(B1)-A2.sum() | =sign(B2) |
3 | =A1.psort@z(abs(~)) | >abs(B2).run(A2(A3(#))+=C2) | =A2.sum() |
因爲只是取整操作，因此C2中計算的最小調整值就是合計值偏差的正負；
A3中，根據原始數據的絕對值從大到小做了一個排序，結果就是排序後的序號。
B3是最主要的，因爲只是取整操作，所以B2中的偏差絕對值是多少，就調整幾個數。以此循環，依照原始值的絕對值大小，依次分配最小調整值。
C3是對調整後的A2重新驗證了合計值。
調整後，A2和C3中的結果如下：
在這種方案中，平衡差由多個數據分擔，而選擇絕對值最大的數據會使得數據的相對變動最小。在結果中，1.48舍位後變爲了2，6.48舍位後變爲了7，調整平衡的結果還是比較理想的。
這種方案需要將數據按絕對值排序，執行效率不是很好，特別是在數據量比較大的情況下，排序會耗費較多時間。
(3) 將平衡差按照最小調整值，由不爲0的數據依次分擔。
在上一種調整舍位平衡的方案中，將誤差由絕對值最大的一些數據來分擔。在實際操作中，爲了提高效率，減少排序操作，就可以適當簡化，改爲由順序排在前幾位的數據來分擔。考慮到在四捨五入時，0並不會產生誤差，而且如果修改數據中的0，這樣的變動會比較明顯，因此在調整時將保留原始數據中的0不變。
在這種規則下，前面問題的舍位平衡處理如下：
A | B | C | |
1 | [1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39] | =A1.sum() | |
2 | =A1.(round(~)) | =round(B1)-A2.sum() | =sign(B2) |
3 | =A2.pselect@a(~!=0) | >abs(B2).run(A2(A3(#))+=C2) | =A2.sum() |
A3中選擇出原始數據中非0成員的序號，在B3中調整舍位後數據時，按順序分擔。調整後，A2和C3中的結果如下：
在結果中，1.48舍位後變爲了2，1.42舍位後變爲了2，調整平衡的結果比較合理。同時這種方案避免了排序操作，效率較高，因此這種舍位平衡的規則最爲常用。
在處理單向舍位平衡時，並非只有對一組序列求和的情況。更多的情況下，是對一批數據來求和，如下面的SalesRecord.txt中存儲的序表：
Name Jan Feb Mar Apr Allen 26106 49637 27760 33829 Billy 56611 50588 54765 76072 Charlie 21249 96825 28645 55958 Daisy 3413 49069 6279 98247 Flora 7590 12072 90034 64252 |
現在，需要統計每位員工4個月的總銷售額，統計時以千元爲單位，並處理舍位平衡。代碼如下：
A | B | C | D | |
1 | =file("SalesRecord.txt").import@t() | =A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum) | =B1.derive() | |
2 | >5.(C1.field(#+1,C1.field(#+1).(round(~/1000)))) | =C1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2) | ||
3 | for B2 | >func(A5,A3) | ||
4 | =B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum3) | |||
5 | func | =A5.Sum-A5.Sum2 | =abs(B5) | =sign(B5)*1 |
6 | for C5 | =A5.field(1+B6) | >A5.field(1+B6,C6+D5) |
分步執行代碼，A1中讀入序表後，在B1中添加合計字段Sum，結果如下：
在C1中將上面的序表複製，並在B1中將序表中的第2至第6個字段執行舍位計算到以千爲單位。此時，有可能由於四捨五入計算破壞平衡，在B2中再添加一個字段Sum2，計算舍位後4個月的合計值。B2中的序表如下：
可以看到，在此時，Sum與Sum2字段是有區別的，說明需要調整舍位平衡。在這裏雖然需要調整計算後序表中的數據，但是每個數據只用於計算員工合計，因此仍然屬於單向舍位平衡。
A5中的子程序用來處理一條記錄的舍位平衡，B5中計算平衡差，C5中計算出最小調整值。在B6中循環，將平衡差拆分到記錄中前幾個數據中，這裏簡單處理，並未判斷數據是否非零。
在A3中，循環序表B2中的記錄，分別調整舍位平衡。調整完畢後，在A4中再添加Sum3字段來驗證舍位平衡結果，A4中結果如下：
對比Sum與Sum3可以確認，結果調整，數據舍位後重新達成了平衡。
2. 雙向舍位平衡
如果數據在行向和列向兩個方向同時需要計算合計值，同時還需要計算所有數據的總計值，這種情況下處理舍位平衡時就複雜得多了。此時處理舍位平衡時，不僅要求最終的總計值準確，同時行向和列向計算的合計值也要與對應行、列的數據平衡，這種情況下的舍位平衡稱爲雙向舍位平衡。如在SalesRecord.txt的數據中，需要再統計每個月的總銷售額，代碼如下：
A | B | C | |
1 | =file("SalesRecord.txt").import@t() | >A1.insert(0,"Total") | >4.(A1.m(-1).field(#+1,A1.field(#+1).to(, 5).sum())) |
2 | =A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum) | =A2.derive() | >5.(B2.field(#+1,B2.field(#+1).(round(~/1000)))) |
3 | =B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2) | =A3.derive(Sum2-Sum:Diff) | >B3.insert(0,"Total2") |
4 | >5.(B3.m(-1).field(#+1, A3.field(#+1).to(,5).sum())) | >B3.insert(0,"Diff") | >5.(B3.m(-1).field(#+1,B3(6).field(#+1)- B3(7).field(#+1))) |
A1中讀入序表，並在B1中添加一條記錄，用來在D1中計算各月總銷售額。再在A2中添加字段計算每位員工的銷售總額，以及總合計值後，結果如下：
在C2中根據上面的彙總數據，將結果舍位到以千元爲單位。再根據舍位後的數據，在A3中添加字段Sum2計算舍位後的員工合計值，在B3中添加字段Diff員工合計的平衡差。最後，再添加2條記錄，分別用來計算每個月的舍位合計值，以及平衡差。計算完成後，B3中結果如下：
可以看到，當橫向和縱向分別做彙總時，舍位後需要解決的平衡問題就複雜得多了。此時修改任何一個舍位數據，都會同時影響橫向和縱向兩個方向的合計計算，這樣的問題稱爲雙向舍位平衡。在上面的計算中，有一些平衡差只與合計值相關，如Total這一行中最右側的平衡差，只與各月的合計有關，這樣的平衡差稱爲合計平衡差。在雙向舍位平衡表中，只存在一橫一縱兩個合計平衡差。其它的平衡差都會和具體數據相關，如Feb這個月最下方的平衡差，這種平衡差稱爲非合計平衡差。
我們先從一些比較簡單的情況開始研究雙向舍位平衡：
(1)橫向與縱向的非合計平衡差符號相同。如下面的情況：
1.44 | 1.35 | 2.79 |
1.2 | 0 | 1.2 |
2.64 | 1.35 | 3.99 |
上面的表格中，存儲着2行2列的初始數據，同時計算出了各行各列的合計值，以及所有數據的總計值。下面將這些數據四捨五入取整，並計算每一行/列的平衡差，結果如下：
1 | 1 | 3 | +1 |
1 | 0 | 1 | |
3 | 1 | 4 | |
+1 |
這裏的“非合計平衡差”是指涉及原始數據的平衡差，此時合計數據及總計值都不需要調整。可以看到，此時只是第1行和第1列的合計值不平衡，而且都是合計值比舍位數據的和大1，這種情況下，只需要調整交叉點處的數據，根據平衡差符號加減最小調整值即可。具體操作是把交叉點處，即第1行第1列的數據舍位結果+1，就可獲得平衡，結果如下：
2 | 1 | 3 |
1 | 0 | 1 |
3 | 1 | 4 |
(2)同向的2個非合計平衡差符號相反。如下面的情況：
1.44 | 1.55 | 2.99 |
1.2 | 0.85 | 2.05 |
2.64 | 2.4 | 5.04 |
將這些數據四捨五入取整，並計算每一行/列的平衡差，結果如下：
1 | 2 | 3 | |
1 | 1 | 2 | |
3 | 2 | 5 | |
+1 | -1 |
這種情況下，仍然不需要調整總計值。由於第1列和第2列中的平衡差一正一負，只需要任選一行平衡差爲0的數據，將這兩列的數分別根據按平衡差的符號加減最小調整值。如選擇第1行，將第1列的舍位結果+1，將第2列的舍位結果-1，就可獲得平衡，結果如下：
2 | 1 | 3 |
1 | 1 | 2 |
3 | 2 | 5 |
(3)某個合計平衡差與另一方向的非合計平衡差符號相反。如下面的情況：
1.44 | 1.55 | 2.99 |
1.2 | 0.97 | 2.17 |
2.64 | 2.52 | 5.16 |
將這些數據四捨五入取整，並計算每一行/列的平衡差，結果如下：
1 | 2 | 3 | |
1 | 1 | 2 | |
3 | 3 | 5 | -1 |
+1 |
這種情況下，說明交叉點處的合計數據需要調整，只需要調整交叉點處的合計數據，根據合計平衡差的符號加減最小調整值。在這裏，即修改第1列的合計結果，根據橫向的合計平衡差，將其-1，即可獲得平衡，結果如下：
1 | 2 | 3 |
1 | 1 | 2 |
2 | 3 | 5 |
(4)某個合計平衡差與同方向的非合計平衡差符號相同。如下面的情況：
1.48 | 1 | 2.48 |
2.11 | 1.01 | 3.12 |
3.59 | 2.01 | 5.6 |
將這些數據四捨五入取整，並計算每一行/列的平衡差，結果如下：
1 | 1 | 2 | |
2 | 1 | 3 | |
4 | 2 | 6 | |
+1 | +1 |
在這裏是列向的合計平衡差與另一列的平衡差符號相同，在這種情況下，可以任選1行平衡差爲0的數據，同時調整這2列的數據。如果選擇第1行，即同時調整第1行第1列，以及第1行的合計值，將它們分別+1即可獲得平衡，結果如下：
2 | 1 | 3 |
2 | 1 | 3 |
4 | 2 | 6 |
(5)兩個方向合計平衡差的符號相同。如下面的情況：
1.44 | 1.99 | 3.43 |
1.6 | 0.48 | 2.08 |
3.04 | 2.47 | 5.51 |
將這些數據四捨五入取整，並計算每一行/列的平衡差，結果如下：
1 | 2 | 3 | |
2 | 0 | 2 | |
3 | 2 | 6 | +1 |
+1 |
此時，只有合計數據影響了結果的平衡。在這種情況下，可以任選一個非合計值，根據合計平衡差的符號加減最小調整值，同樣調整這個數據的橫向和縱向合計值。在上面例子中，可以任意選擇1個數據，如第2行第2列的值，根據平衡差將它+1，同時將第2行以及第2列的合計值同時都+1，這樣就可以獲得平衡，如下：
1 | 2 | 3 |
2 | 1 | 3 |
3 | 3 | 6 |
由於是任選數據，也有其它的處理方式，如選擇第1行第2列的數據修改，同樣可以獲得平衡，結果如下：
1 | 3 | 4 |
2 | 0 | 2 |
3 | 3 | 6 |
在處理雙向舍位平衡時，只有上面的5種情況可以調整平衡。對於其它的情況，說明計算有誤，是無法通過1次調整達成舍位平衡的。但是在實際處理中，上面的情況往往是混合出現的。因此，可以先處理第(1)種情況，即所有非合計行列平衡差符號相同的情況，再處理第(2)種情況，將非合計行/列中不同符號的平衡差消除。全部調整理完畢後，非合計行與非合計列的平衡差只能各爲一種符號。此時再處理第(3)種和第(4)種情況，將非合計行/列的平衡差與合計行/列的平衡差配合消除。最後，如果兩個方向行/列的平衡差仍未消除，再按照第(5)中情況處理。這樣，就可以對一般性的表格完成雙向舍位平衡處理了。
再回到這一節開始時的銷售數據表，下面的代碼將處理其中的舍位平衡：
A | B | C | D | E | |
1 | =file("SalesRecord.txt").import@t() | >A1.insert(0,"Total") | >4.(A1.m(-1).field(#+1,A1.field(#+1).to(, 5).sum())) | ||
2 | =A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum) | =A2.derive() | >5.(B2.field(#+1,B2.field(#+1).(round(~/1000)))) | ||
3 | =B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2) | =A3.derive(Sum-Sum2:Diff) | >B3.insert(0,"Total2") | ||
4 | >5.(B3.m(-1).field(#+1,A3.field(#+1).to(,5).sum())) | >B3.insert(0,"Diff") | >5.(B3.m(-1).field(#+1,B3(6).field(#+1)- B3(7).field(#+1))) | ||
5 | =B2.len() | =B2.fno() | =B3.(Diff).to(,A5) | =B3.m(-1).array().to(2,B5) | |
6 | for A5-1 | for B5-2 | for C5(A6)*D5(B6)>0 | =sign(C5(A6)) | >func(A26,B2(A6),B6+1,D6) |
7 | >C5(A6)-=D6 | >D5(B6)-=D6 | |||
8 | for A5-2 | for A5-1-A8 | for C5(A8)*C5(A8+B8)<0 | =sign(C5(A8)) | =D5.pselect(~==0) |
9 | >func(A26,B2(A8),E8+1,D8) | >func(A26,B2(A8+B8),E8+1,-D8) | |||
10 | >C5(A8)-=D8 | >C5(A8+B8)+=D8 | |||
11 | for B5-3 | for B5-2-A11 | for D5(A11) * D5(A11+B11) < 0 | =sign(D5(A11)) | =C5.pselect(~==0) |
12 | >func(A26,B2(E11),A11+1,D11) | >func(A26,B2(E11),A11+B11+1,-D11) | |||
13 | >D5(A11)-=D11 | >D5(A11+B11)+=D11 | |||
14 | if C5(A5)!=0 | for B5-2 | for C5(A5)*D5(B14)<0 | =sign(C5(A5)) | >func(A26,B2(A5),B14+1,D14) |
15 | >C5(A5)-=D14 | >D5(B14)+=D14 | |||
16 | if D5(B5-1)!=0 | for A5-1 | for C5(B16)*D5(B5-1)<0 | =sign(D5(B5-1)) | >func(A26,B2(B16),B5,D16) |
17 | >D5(B5-1)-=D16 | >C5(B16)+=D16 | |||
18 | if C5(A5)!=0 | for A5-1 | for C5(A5)*C5(B18)>0 | =sign(C5(A5)) | =D5.pselect(~==0) |
19 | >func(A26,B2(B18),E18+1,D18) | >func(A26,B2(A5),E18+1,D18) | |||
20 | >C5(A5)-=D18 | >C5(B18)-=D18 | |||
21 | if D5(B5-1)!=0 | for B5-2 | for D5(B21)*D5(B5-1)>0 | =sign(D5(B5-1)) | =C5.pselect(~==0) |
22 | >func(A26,B2(E21),B5,D21) | >func(A26,B2(E21),B21+1,D21) | |||
23 | >D5(B5-1)-=D21 | >D5(B21)-=D21 | |||
24 | if C5(A5)*D5(B5 -1)>0 | >func(A26,B2(1),2,C5(A5)) | >func(A26,B2(1),B5,C5(A5)) | >func(A26,B2(A5),2,C5(A5)) | |
25 | >C5(A5)=0 | >D5(B5-1)=0 | |||
26 | func | ||||
27 | =A26.field(B26) | >A26.field(B26,B27+C26) |
程序比較複雜，下面簡要說明一下功能。A26處的子程序用來修改序表中的1條記錄，將其指定位置的數據加上所需的調整值。由於用於計算的序表中，第一列爲Name，實際並不參與計算，因此整理數據時將其跳過。C5和D5中分別獲得橫向和縱向的平衡差序列。在第6、7行，循環處理第(1)種情況，如果兩個方向的平衡差符號相同，改變交叉點處的舍位結果。在第8~13行，分橫縱兩種情況，處理第(2)種情況，如果同向的兩個平衡差符號相反時，修改這兩行/列中的舍位結果。第14~17行，處理第(3)種情況，當合計平衡差與另一方向的非合計平衡差符號相反時，調整交叉點處的合計結果。在第18~23行，處理第(4)種情況，當合計平衡差與同方向的非合計平衡差符號相同時，修改這兩行/列中的數據。最後，在第24和25行，判斷前面的修改完成後，是否仍然存在兩個合計平衡差，此時相應調整第1個數據的舍位結果，同時調整第1行和第1列的合計值。
雙向舍位平衡處理完成後，在B2中可以查看最終結果：
運算時，處理過程如下：
Name | Jan | Feb | Mar | Apr | Sum | Diff |
Allen | 26.0 | 50.0 | 28.0 | 34.0 | 137.0 | -1 |
Billy | 57.0 | 51.0 | 55.0 | 76.0 | 238.0 | -1 |
Charlie | 21.0 | 97.0 | 29.0 | 56.0 | 203.0 | 0 |
Daisy | 3.0 | 49.0 | 6.0 | 98.0 | 157.0 | 1 |
Flora | 8.0 | 12.0 | 90.0 | 64.0 | 174.0 | 0 |
Total | 115.0 | 258.0 | 207.0 | 328.0 | 909.0 | 1 |
Diff | 0 | -1 | -1 | 0 | 0 |
執行第(1)步處理，將不同方向上符號相同的非合計平衡差消除後，結果如下：
Name | Jan | Feb | Mar | Apr | Sum | Diff |
Allen | 26.0 | 49.0 | 28.0 | 34.0 | 137.0 | 0 |
Billy | 57.0 | 51.0 | 54.0 | 76.0 | 238.0 | 0 |
Charlie | 21.0 | 97.0 | 29.0 | 56.0 | 203.0 | 0 |
Daisy | 3.0 | 49.0 | 6.0 | 98.0 | 157.0 | 1 |
Flora | 8.0 | 12.0 | 90.0 | 64.0 | 174.0 | 0 |
Total | 115.0 | 258.0 | 207.0 | 328.0 | 909.0 | 1 |
Diff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
這個例子中，執行第(1)步處理後，並沒有符號相反的非合計平衡差，不需執行第(2)步處理。在第(3)步處理中，查找合計平衡差是否與另一方向上的非合計平衡差符號相反的情況，同樣不存在。
在第(4)步處理中，查找合計平衡差與同向的非合計平衡差符號相同的情況，處理結果如下：
Name | Jan | Feb | Mar | Apr | Sum | Diff |
Allen | 26.0 | 49.0 | 28.0 | 34.0 | 137.0 | 0 |
Billy | 57.0 | 51.0 | 54.0 | 76.0 | 238.0 | 0 |
Charlie | 21.0 | 97.0 | 29.0 | 56.0 | 203.0 | 0 |
Daisy | 4.0 | 49.0 | 6.0 | 98.0 | 157.0 | 0 |
Flora | 8.0 | 12.0 | 90.0 | 64.0 | 174.0 | 0 |
Total | 116.0 | 258.0 | 207.0 | 328.0 | 909.0 | 0 |
Diff | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
此時，所有的平衡差已經都變爲了0，說明各個方向上的計算已經恢復平衡，舍位平衡處理完成。如果仍未平衡，則需要進一步執行第(5)步處理。