RSA加密

算法：

1. 選擇兩個素數p,q
2. 計算n=p×q
3. 計算λ(n) = lcm(λ(p),λ(q)) = lcm(p-1,q-1)
4. 選擇e滿足：1<e<λ(n) 且  gcd(e, λ(n)) = 1，即e和λ(n)互質
5. 計算d滿足：d×e≡1(mod λ(n))

公鑰：n 和 e

私鑰：d

加密：

Alice想要向Bob發送信息M

1. 獲取Bob的公鑰n和e
2. 將信息M分割轉化爲若干整數
3. 對每一個整數m，計算密文c滿足：c≡ (mod n)
4. 將密文發送給Bob

解密：

1. 用自己的私鑰d對每一段密文c計算明文m滿足：m≡ (mod n)
2. 拼接明文獲取信息

示例：

計算密鑰公鑰：

1. 取p=61,q=53
2. n=61×53=3233
3. λ(3233)=lcm(λ(61),λ(53))=lcm(60,52)=780
4. 取e=17
5. 計算d=413
6. 密鑰d:413，公鑰(n,e)=(3233,17)

加密：

1. 明文取m=65
2. 計算c滿足：c≡ (mod n) 得c=2790

解密：

1. 有密文c=2790
2. 計算m滿足：m≡ (mod n) m=65

原理：

證明基於費馬小定理：對任意的整數a和不能整除a的素數p有， ≡ 1 (mod p)

解密時：m≡≡ (mod n) 

只需證明：

只需證明：和同時成立

對於所有的整數m，由於p和q是不同的素數，e和d是滿足ed ≡ 1 (mod λ(pq))的正整數，λ(pq) = lcm(p − 1, q − 1)可以被p-1和q-1整除，有

其中h和k是非負整數

利用費馬小定理將 (mod p) = 1.

同理

得證

破解：

破解者將有公鑰(n,e)和密文c

因爲d×e≡1 (mod n)將得到多個d，而不確定到底是哪一個

目前最有效的方式是對整數n進行分解，分解爲兩個素因子p和q，再進行標準的流程進行解密

目前沒有找到在常規計算機上多項式時間的分解算法，但是也沒有證明這樣的算法是不存在的

翻譯自：

https://en.wikipedia.org/wiki/RSA_(cryptosystem)