經驗模式分解(empirical mode decomposition, EMD)方法是Huang提出的,它是一種新的時頻分析方法,而且是一種自適應的時頻局部化分析方法:①IMF與採樣頻率相關;②它基於數據本身變化。這點是EMD優於傅立葉變換方法的地方,它擺脫了傅里葉變換的侷限性。但EMD比較重要的缺點就是模態混疊,爲了更好地解決這一問題,EEMD被Huang提出。
經驗模態EMD分解方法的原理及特性
本徵模態分量
Norden E. Huang爲了得到瞬時頻率,提出基本模態分量(Intrinsic Mode Fuction)一個本徵模態分量(IMF)必須滿足下面兩個條件:
①在整個數據序列內,極值點的個數iV。,和過零點的個數iV,必須滿足以下關係:
②在任一時間點,信號由局部極大值確定的上包絡線人(r)和由局部極小值確定的下包絡(/)的均值必須滿足以下關係:
第一個限定條件很明顯,與正態平穩過程的傳統窄帶的要求很相似;第二個是創新 方面,創新表現在把限制的範圍做了改變,傳統的全侷限制轉爲局域性的,這種限定可以解決由於波形不對稱而造成的瞬時頻率的波動
經驗模態分解的原理和算法
EMD是一種非平穩信號分析方法,但是它不同於FFT。EMD適合任意數據,基於數據本身來分解,不需要基函數。EMD分解基於這樣的假設:①認爲信號由不同的IMF組合而成;②IMF同時具備線性和非線性特點;由EMD方法分解信號可以得到一系列的本徵模態分量(IMF),如下
式中imfi(t)是EMD分解得到的第i個IMF; rn(t)是分解篩除n個IMF後的信號殘餘分量,常常代表信號的直流分量或信號的趨勢。
在滿足模式分量的兩個條件的情況下,不斷迭代篩除得到模式分量:將所有極大值點和所有極小值點分別用三次樣條曲線連接起來,得到上、下包絡線且取其均值mj {t),不斷地進行刪除和迭代,最後按照Sd終止這個過程,得到一系列本徵模態分量。再重複上面把剩餘的量最爲原始信號進行重複循環,直到信號的殘餘分量rn(t)爲單調函數且不能再分解出模態分量時,或所分離的最後個本徵模態分量cn(t)很小,再或rn(r)比預期小時,整個分解過程結束。
假設ri(t)爲剩餘分量,hi(t)爲分解模態分量,mi(t)爲上、下包絡線均值組成的序列,則EMD分解算法如圖3-1所示:
①初始化r0(t) = x(t),i=1 (循環開始)
②抽取第i個IMF的過程如圖3-1所示,停止條件可以用標準差Sd控制
Sd爲兩個連續的處理結果之間的標準差且一般情況下=(0.2[] 0.3)
④如果仍然含有2個以上的極值,則繼續分解,否則分解結束。
EMD分解得到的前幾個本徵模態分量,通常集中了原信號中最顯著、最重要的信息,且本徵模態分量不同其所包含的時間尺度也是各異的,即令信號的特徵在不同的分辨率下表達出來,因此,可以利用EMD從複雜的信號中提取出特定特徵的模態分量
爲了理解EMD的分解過程,下面舉了一個仿真信號的例子。圖3-2爲信號x(t)表達式爲
對仿真信號進行EMD分解,得到3個IMF分量和1個殘餘函數r3,如圖 3-3所示，對應的頻率從高到低,尺度各相不同。
經驗模態EMD分解的特點
EMD方法具有以下特點:
1. 自適應性
(1 )基函數的自動產生
與小波變換一個很大的區別是：小波變換時需要預先選擇小波基，而EMD方法不需要，根據數據本身來分解。
（2）自適應的濾波特性
EMD由不等帶寬的IMF分量c1,c2......cn組成而成。這些分量的頻率是從高到底排列的，信號不同頻率帶寬也不同。因此，EMD可看作一組自適應高通濾波，信號不同，截止頻率和帶寬也不同。然而在小波分解中，獲得的時域波形是由小波分解尺度決定的。
（3）自適應的多分辨率
通過EMD得到的IMF所包含的特徵時間尺度不同，說明信號可以用不同的分辨率來表達。
2.完備性
信號分解的完備性是指,把分解後的各個分量相加能夠獲得原信號的性質。
下面通過一個仿真信號的EMD分解與重構過程來說明EMD方法的完備性。
仿真信號x(t)的表達式爲
採用EMD方法對它進行分解,得到3個IMF分量C1 C2 C3和1個殘餘函數r3,y IMF分量C3的特徵時間尺度是最大的,將它和殘餘函數r3結合一起,重構原始信號x{t),分解和重構的過程如圖3-4所示,圖中還給出了重構信號r0和原始信號x(t)之間的誤差Err,誤差的數量級達到10-15。
經驗模態EMD分解的存在問題
經驗模態分析方法也存在問題和不足之處,主要是:①用EMD分解得到的IMF存在模態混合現象;②末端效應影響分解效果,下面就來進一步討論兩個問題。
1 .用EMD分解得到的IMF存在模態混合現象
EMD分解得到的IMF分量往往存在模態混合,造成IMF分量不精確。Huang等認爲模式混疊是極值點的選擇造成信號的間歇現象。
出現下列情況之一就稱爲模態混合:①在同一個IMF分量中,存在尺度分佈範圍很寬卻又各不相同的信號;②在不同的IMF分量中,存在着尺度相近的信號。模態混合,使得IMF分量失去其具有原來單一特徵尺度的特徵,形成尺度混雜的振盪,因此失去其原有的物理意義。一個模擬信號例子來說明EMD的模態混疊，如圖3-5所示，x1(t)是10Hz的正玄波，x2(t)是間歇信號。
用EMD對信號x(t)進行分解,如圖3-6所示,可以獲得第一階本徵模分量C1，第二階本徵模分量C2，第三階本徵模分量C3，r3表示殘餘分量。在第一階本徵模分量中明顯的包含不同頻率的分量，EMD分解存在混疊。
2.端點效應影響分析結果
端點效應由兩種情形造成的:①在三次樣條擬閤中產生;②在Hilbert變換中產生。端點效應直接影響經驗模態分析的效果。端點處理的好,分解的效果就比較好,許多學者研究克服端點效應的方法。Wang用最小相似距離的延拓方法;程軍聖等人用支持向量迴歸機的方法Deng等人用神經網絡;林大超等人用支持向量機和鏡像延拓方法[40];他們用不同的方法,都取得了不錯的成果。
集合經驗模態分解EEMD提出及概念
Huang曾把極小幅度的的噪聲加入到地震數據中,這中做法可以阻止低頻模式分量的擴散。這是第一個把噪聲輔助分析方法用到EMD中的做法,但他卻沒完全地理解把噪聲加入到EMD中的影響。法國的Flandrin的研究纔是真正意義上開創性的進
展。傳統EMD分解不能對沒有足夠多極值點的信號進行分解,因此Flandrin爲了解決這個問題而將噪聲引入到EMD分解中。在加入噪聲後,Flandrin使原來不能用於分析此數據的EMD算法變的可用。
Huang也對白噪聲EMD分解的研究。他選取了一組白噪聲,對信號進行EMD分解,結論得出:添加白噪聲的實驗說明,①EMD分解的作用,與自適應二進制濾波器是相似的,表現在分離出的每個本徵模態分量的平均週期大概是前個的2倍(即後
面頻率是前面的2倍);②白噪聲的尺度呈現均勻分佈狀態,且其能量在頻譜上也呈現均勻分佈狀態,作爲二進制的濾波器,如果信號不是純的白噪聲時,會丟失一些尺度,所以有可能出現模態混疊現象,模態混疊概念在上小節已經介紹過,這裏就不再做介紹。
由於EMD分解出現模態混疊現象,法國的Handrin等人用EMD對白噪聲分解後的結果進行統計,提出了基於噪聲輔助分析的改進的EMD方法。在進行試驗時,利用白噪聲頻譜均勻分佈的特性,在待分析信號中加入白噪聲,這樣不同時間尺度的信號可以自動分離到與其相適應的參考尺度上去,這就是EEMD方法。該方法主要是在信號中添加白噪聲,以此來補充一些缺失的尺度,在信號分解中具有良好的表現。
集合經驗模態分解EEMD原理及算法
EEMD的原理較爲簡單,信號極值點影響IMF,若分佈不均勻時會出現模態混疊。Huang把白噪聲引入要分析的信號中,白噪聲的頻譜均勾分佈,白噪聲使得信號會自動分佈到合適的參考尺度上。由於零均值噪聲的特性,噪音經過多次的平均計算後會相互抵消,這樣集成均值的計算結果就可以直接視作最終結果。集成均值的計算結果與原始信號的差值隨着集成平均的次數增加而減少。
EEMD算法步驟如下：
1.將正態分佈的白噪聲加到原始信號;
2.將加入白噪聲的信號作爲一個整體,然後進行EMD分解,得到各IMF分量；
3.重複步驟1和2,每次加入新的正態分佈白噪聲序列;
4.將每次得到的IMF做集成平均處理後作爲最終結果。
用EEMD對上面的間歇信號x(t)進行分解，檢驗EEMD能否克服EMD的模態混疊。
如圖3-8所示,可以獲得第一階本徵模分量C1，第二階本徵模分量C2，第三階本徵模分量C3，r3表示殘餘分量。EEMD把x(t)獨立的分解爲三個有模態分量和一個殘餘量。
由圖3-8中可以看出第一階本徵模分量C1 第二階本徵模分量C2,和第三階本徵模分量C3,均只包含一種頻率分量,沒有模態混疊現象。因此結合圖3-5仿真信號、圖3-6仿真信號的EMD結果,得出EEMD能夠有效地抑制EMD的模態混疊現象,分解效果優於EMD。
注：本文參考論文《基於集合經驗模態分析的滾動軸承故障特徵提取》